Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лінійна алгебра

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
11.02.2016
Размер:
301.37 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра “Вищої та прикладної математики”

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

Конспект лекцій

Одеса – 2014

2

Конспект лекцій розроблено кандидатом фізико-математичних наук

Григор’євим Юрієм Олександровичем – доцентом кафедри “Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.

Посібник схвалено кафедрою “Вища та прикладна математика” ОНМУ 03 червня 2014 року (протокол № 11).

Рецензенти – докт. фіз-мат. наук, професор І.Л. Андронов, канд. фіз-мат. наук, доцент С.О. Кирилов.

3

1. ПОНЯТТЯ ЛІНІЙНОГО ПРОСТОРУ

Будь-яку упорядковану пару чисел (x1,x2 ) геометрично можна уявити собі як точку на площині або як вектор x = (x1,x2 ) на цій площині (рис. 1.1). Сукупність всіх таких точок (або векторів) називається двовимірним простором і позначається R2 .

Так само кожну упорядковану трійку чисел (x1,x2 ,x3 )

геометрично

можна уявити собі як

точку або

як

вектор x = (x1,x2 ,x3 )

(рис. 1.2) у

тривимірному просторі

R3 .

 

 

 

 

 

 

x3

 

x2

 

 

x3

 

 

 

 

 

x

x

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

O

x2

 

 

 

x2

O

x

x

x1

 

 

1

1

x1

 

Рис. 1.1

 

 

 

 

 

Рис. 1.2

Аналогічно упорядкований набір з n чисел (x1,x2 ,...,xn )

називають n-

вимірним вектором. Множина всіх таких векторів називається n-вимірним

простором і позначається Rn .

На n-вимірні вектори розповсюджуються звичайні правила додавання

векторів та множення вектора на число.

 

 

 

Щоб

скласти

два вектори

x = (x1,x2 ,...,xn )

та y = (y1, y2 ,..., yn )

потрібно

скласти

їх відповідні

координати. Тобто, якщо

z = x + y,

то

z = (x1 + y1,x2 + y2 ,...,xn + yn ).

 

 

 

 

Щоб

помножити вектор x = (x1,x2 ,...,xn ) на

число α

потрібно

всі

координати вектора помножити на це число. Тобто α x = (α x1,α x2 ,...,α xn ).

Розглянуті дії: складання векторів та множення вектора на число називаються лінійними діями над векторами.

Наведемо властивості лінійних дій над векторами. Якщо вектори x та y належать Rn , то x + y Rn і

1.x + y = y + x,

2.x + ( y + z) = (x + y) + z для довільних x, y та z з Rn ,

 

4

3.

для всіх x Rn справедлива рівність x + o = x, де o = (0,0,...,0),

4.

для кожного x Rn справедлива рівність x + (x) = 0.

Для довільного числа α і довільного вектора x Rn визначений вектор

αx Rn (добуток вектора x на число α ), причому

1.α (β x) = (αβ )x, де α і β – числа,

2.1 x = x,

3.(α + β )x = α x + β x,

4.α (x + y) = α x +α y , де x та y належать Rn .

Множина L елементів будь-якої природи, що задовольняє наведеним вище властивостям, називається лінійним простором.

Наведемо інші приклади лінійних просторів:

1.Множина всіх дійсних чисел R.

2.Множина векторів у просторі чи на площині.

3.Множина всіх матриць однакової розмірності.

4.Множина неперервних функцій на деякому відрізку [a,b].

2.ПОНЯТТЯ ПРО ЕВКЛІДІВ ПРОСТІР

Для будь-яких векторів x = (x1,x2 ,...,xn ) та y = (y1, y2 ,..., yn ) можна ввести поняття скалярного добутку

x y = x1 y1 + x2 y2 + ...+ xn yn .

Для довільних векторів x, y і z з Rn справедливі наступні властивості:

1.x y = y x,

2.(α x) y = α (x y) для довільного числа α ,

3.(x + y) z = x z + y z,

4.x x ≥ 0, причому x x = 0 лише при x = o.

Означення. Лінійний простір L називається простором Евкліда, якщо для кожних двох елементів x, y L визначена дія скалярного добутку x y =α , де α – число. Причому властивості скалярного добутку повинні бути такими, які мають місце для скалярного добутку векторів, тобто 1 – 4.

Отже, якщо для довільних двох векторів лінійного простору Rn введена

операція скалярного добутку, то простір Rn є простором Евкліда. В цьому просторі вводять поняття довжини вектора:

x = x x . Наведемо інші приклади евклідових просторів:

1.Множина всіх дійсних чисел R.

2.Множина векторів у просторі чи на площині.

5

3. Множина неперервних функцій на деякому відрізку [a,b]. Скалярний

добуток неперервних функцій визначається так:

b

f g = f (x)g(x)dx.

a

3. ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ

Нехай дано

m векторів a , a

2

, ..., a

m

простору Rn .

Лінійною

 

1

 

 

 

комбінацією цих векторів називається вираз

 

 

 

 

k1a1 + k2a2 + ...+ kmam ,

 

де k1, k2 , ..., km – деякі числа.

 

 

 

 

 

Означення.

Система векторів

 

a1, a2 , ..., am називається

лінійно

незалежною, якщо лінійно комбінація цих векторів дорівнює нулю лише в одному випадку, коли k1 = k2 = ... = km = 0.

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують числа

k1, k2 , ..., km , не всі рівні нулю, такі, що

 

k1a1 + k2a2 + ...+ kmam = 0.

(3.1)

Якщо вектори a1, a2 , ..., am лінійно залежні, то один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Дійсно, у випадку лінійної залежності наших векторів рівність (3.1) справедлива і не всі коефіцієнти k1, k2 , ..., km

дорівнюють нулю. Нехай, наприклад

k1 0. Тоді обидві частини рівняння

(3.1) можна поділити на k1 і знайти a1 :

 

 

a = −

k2

a

...

km

a .

 

 

1

k

2

 

k

 

m

 

1

 

1

 

 

От ми і виразили вектор a1 через лінійну комбінацію інших векторів

системи. Справедлива наступна теорема.

 

 

Теорема. Система векторів

a1, a2 , ..., am

лінійно залежна тоді і тільки

тоді коли один з векторів системи можна представити у вигляді лінійної

комбінації інших.

 

Приклад. Дослідити на лінійну залежність систему векторів

 

a = (1,2,5), b = (3,4,0), c = (1,0,10).

(3.2)

Якщо вектори лінійно залежні, то один з векторів представити у вигляді лінійної комбінації інших.

Розв’язання. Складемо лінійну комбінацію векторів і дослідимо, при

яких значеннях чисел α , β і γ вона дорівнює нулю:

 

αa + βb + γ c = 0.

(3.3)

6

Тут над векторами (3.2) виконуються лінійні дії. Значить, такі самі дії справедливі і для координат цих векторів:

 

 

 

 

 

α 3β γ = 0,

 

 

 

 

 

 

2α + 4β + 0γ = 0,

(3.4)

 

 

 

 

 

5α + 0β +10γ = 0.

 

Обчислимо визначник системи

 

 

1 3

1

 

=1 40 + 3(20)1(20) = 40 60 + 20 = 0.

 

 

 

 

=

2

4 0

 

 

 

5

0

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якби визначник системи був відмінним від нуля, то система (3.4) мала б єдиний розв’язок (тобто нульовий) і вектори (3.2) були б лінійно незалежними. Але визначник системи дорівнює нулю, тотму розв’язок системи α = β = γ = 0 не єдиний. Існують α , β і γ , не всі рівні нулю, такі, що справедлива рівність (3.3). Вектори (3.2) лінійно залежні. Розв’яжемо систему за методом Гаусса. До другого рівняння системи додамо перше, помножене на 2, а до третього – перше, помножене на (–5). Отримаємо

α 3β γ = 0,

 

2β 2γ = 0,

 

 

15β +15γ = 0.

 

Скоротивши друге рівняння на (–2), а третє на 15, отримаємо систему з двома різними рівняннями і трьома невідомими:

α 3β γ = 0,

β + γ = 0.

Ця система має безліч розв’язків. Припустимо, що γ – довільне число.

Тоді β = −γ ,

α = −2γ . Загальний розв’язок системи має вигляд

 

α = −2γ ,

β = −γ ,

γ

– довільне число.

 

 

Поклавши,

наприклад,

γ =1, отримаємо α = −2,

β = −1.

При

знайдених значеннях α ,

β

і γ лінійна комбінація векторів (3.3) дорівнює

нулю

 

 

 

 

2a b + c = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виразимо, наприклад, вектор c через вектори a і b: c = 2a + b.

 

Таким

чином,

для

перевірки лінійної незалежності

системи m

n-

вимірних векторів треба розв’язати систему з n лінійних однорідних рівнянь з m невідомими. Ця система, очевидно, завжди має нульовий розв’язок. Якщо цей нульовий розв’язок є єдиним розв’язком системи, то система векторів лінійно незалежна. В іншому випадку система лінійних однорідних рівнянь має безліч розв’язків. Тоді система векторів лінійно залежна.

7

При n < m система лінійних однорідних рівнянь має безліч розв’язків і система векторів лінійно залежна. Звідси висновок: максимальна кількість лінійно незалежних n-вимірних векторів дорівнює n.

4. БАЗИС ПРОСТОРУ

Означення. Будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів в

просторі Rn називається базисом цього простору. Роль базису пояснює наступна теоремаю

Теорема. Кожний вектор простору Rn можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису і це представлення єдине.

Доведення. Нехай a1, a2 , ..., an – базис n-вимірного простору Rn , а x

будь-який вектор цього простору.

Оскільки в n-вимірному просторі не може бути більше n лінійно

незалежних векторів, то вектори x, a1, a2 , ..., an лінійно

залежні. Тобто

існують числа k0 , k1, k2 , ..., kn , не всі рівні нулю, такі, що

 

k0 x + k1a1 + k2a2 + ...+ knan = 0.

(4.1)

Тут k0 0, інакше

 

k1a1 + k2a2 + ...+ knan = 0

 

і не всі k1, k2 , ..., kn дорівнюють нулю. А це суперечить лінійної незалежності векторів a1, a2 , ..., an . Значить, з рівняння (4.1) можна знайти

 

x = −

k1

a

k2

a

 

...

kn

a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k0

1

 

k0

 

2

 

k0

n

 

 

Позначимо через

m = −

ki

 

,

де

i =1,2,...,n

і запишемо

попередню

 

 

 

i

 

k0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівність так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = m1a1 + m2a2 + ...+ mnan .

(4.2)

Ми довели, що вектор x можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису. Доведемо, що це представлення єдине. Припустимо противне, що існує ще одна лінійна комбінація, відмінна від (4.2), що дає вектор x:

x = m1a1 + m2a2 + ...+ mnan .

 

(4.3)

Віднімаючи від рівності (4.1) рівність (4.2), отримаємо

 

 

0 = (m m)a +

(m m)a + ...+

(m m)a .

1 1 1

2

2 2

n

n

n

Із лінійної незалежності векторів a1, a2 , ..., an витікає, що попередня рівність можлива лише у випадку, коли всі коефіцієнти mi miдорівнюють нулю:

8

mi = mi, i =1,2,...,n.

Звідси випливає, що будь-який вектор з Rn може бути представлений

єдиною лінійною комбінацією векторів базису. Теорему доведено. Означення. Якщо вектор x представлений у вигляді лінійної комбінації

векторів базису:

x = m1a1 + m2a2 +...+ mnan ,

(4.2)

то числа m1,m2 ,...,mn називаються координатами вектора x

в базисі

a1, a2 , ..., an .

 

Координати вектора також можна записувати в дужках, тобто запис (4.2) рівносильний наступному

x= (m1,m2 ,...,mn ).

Ваналітичній геометрії у якості базису на площині ми часто

застосовували вектори

 

= (1,0)

та

 

= (0,1)

(рис. 4.1), а у просторі –

i

j

вектори

 

= (1,0,0),

 

= (0,1,0) та

 

= (0,0,1) (рис. 4.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Рис. 4.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА В РІЗНИХ БАЗИСАХ

 

Задача. Нехай a , a , ..., a

n

і

b , b , ..., b

– два базиси простору Rn .

 

 

 

1

2

 

 

1

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Перший домовимося називати старим базисом, а другий – новим.

Координати вектора x = (x1,x2 ,...,xn )

задані в старому базисі. Треба знайти

координати цього вектора в новому базисі.

 

 

 

 

Розв’язання. Представимо нові вектори b1, b2 , ..., bn

у вигляді лінійних

комбінацій старих векторів a1, a2 , ..., an :

 

 

 

 

b = β a + β

 

 

a

 

+...+ β

 

 

a ,

 

1

11

1

21

 

 

2

 

n1

n

 

b2

= β12a1 + β22a2 +...+ βn2an ,

 

.............................................

(5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

= β

a + β

2n

a

+...+ β

 

a .

 

n

1n

1

 

 

2

 

 

nn n

 

9

Матриця коефіцієнтів

 

 

 

 

 

β

β

... β

 

 

11

12

1n

 

B =

β21

β22 ... β2n

 

....................

 

βn1

 

 

 

 

βn2 ... βnn

називається матрицею переходу від старого базису до нового. Коефіцієнти розкладання векторів нового базису утворюють стовпці матриці B.

Оскільки координати вектора x = (x1,x2 ,...,xn ) задані в старому базисі,

то можна записати

x = x1a1 + x2a2 +...+ xnan .

Позначимо через y = (y1, y2 ,..., yn ) координати вектора x в новому базисі, тобто

y = y1b1 + y2b2 +...+ ynbn . Оскільки x та y – один й той же вектор, то

n

n

xiai = yjbj .

i=1

j=1

Замість bj підставимо вирази із система (5.1):

n

n

n

n

n

xiai = yj βijai = ai βij yj .

i=1

j=1

i=1

i=1

j=1

Звідси витікають співвідношення, що зв’язують координати вектора x в старому базисі x = (x1,x2 ,...,xn ) і в новому базисі y = ( y1, y2 ,..., yn ):

n

 

 

 

 

 

xi = βij

yj , i =1,2,...,n.

(5.2)

j=1

 

 

 

 

 

Якщо позначити

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

1

 

 

1

 

 

x = x2 ,

y = y2 ,

 

...

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

yn

 

 

то співвідношення (5.2) можна записати у матричному вигляді:

 

 

 

x = By .

 

 

 

Тобто, вектор в старих координатах дорівнює матриці переходу,

помноженій на вектор в нових координатах.

 

 

 

Якщо визначник матриці B відмінний

від

нуля, то існує

обернена

матриця B1 і можна записати

 

 

 

 

 

 

y = B1x.

 

 

(5.3)

10

Приклад.

Знайти координати

вектора

x в

базисі e1, e2, e3, якщо

x = (3,6,−1)

в базисі e1, e2 , e3 ,

 

 

 

 

 

 

e

= 2e + e + e ,

 

 

1

 

1

2

3

 

 

e2′ =

2e2 e3,

 

 

= e1

e2 + e3.

 

 

e3

 

Розв’язання. Запишемо матрицю переходу. Її стовпці – це координати

нових базисних векторів

 

 

 

 

 

 

 

2 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = 1

2 −1 .

 

 

 

 

−1

1

 

 

 

 

1

 

 

Скористаємось формулою

(5.3). МатрицюB1

будемо знаходити за

правилом:

 

 

 

 

 

 

1) знайдемо визначник матриці B:

 

 

 

B = 2 1+1 (−3) = 2 − 3 = −1.

Оскільки визначник відмінний від нуля, то обернена матриця існує.

2) Знайдемо транспоновану матрицю, записавши рядки матриці B у стовпці:

 

 

2

1

1

 

B′ =

 

 

 

 

 

 

0

2 −1

 

 

 

−1

1

 

 

1

 

3)Знайдемо союзну матрицю, замінивши кожний елемент

транспонованої матриці його алгебраїчним доповненням,

 

 

1

−1

− 2

 

ɶ

 

−2

1

3

 

B =

 

.

 

 

−3

2

4

 

 

 

 

4) Обернена матриця знаходиться за формулою

 

 

B1 =

 

 

1

 

 

Bɶ.

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нашому випадку

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

B

1

=

 

2

 

 

−1 − 3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3

 

 

− 2 − 4

 

 

 

 

 

 

 

 

За формулою (5.3) знайдемо координати вектора x в новому базисі:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]