Методические указания

Откуда

и

(9)

Окончательно, подставив (6) и (9) в формулу (2) для скорости полета пули получим:

Порядок выполнения работы.

1. Определить на весах массу пули .

2. Максимально приблизить друг к другу грузы массой , расположение на стержне. Определить расстояние от груза до оси вращения.

3. Установить маятник в таком положении, чтобы черта на мишени (мисочке) показывает угол отклонения .

4. Произвести выстрел из стреляющего устройства и определить максимальный угол отклонения крутильного маятника . Выразить в радианах .

5. Измерить расстояние от оси вращения до места попадания пули в мишень.

51

7. Максимально отдалив друг от друга грузы, определить расстояние от груза до оси вращения.

ные в п. 6.

9. Выстрел повторить трижды. Результаты измерений, полученные в каждом опыте внести в таблицу.

Таблица

10. Определить скорость пули при каждом выстреле по формуле (10).

11. Найти среднее значение скорости полета пули и разброс отдельных значений около среднего значения . Определив величину до-

Контрольные вопросы.

1.Что представляет собой баллистический маятник?

2.Какие законы сохранения используются при выводе формулы для определения скорости пули в данной работе?

3.Что называется моментом импульса? Как определяется его направление?

4.Сформулируйте закон сохранения момента импульса. На основании

этого закона запишите уравнение применительно к системе

.

5.Запишите закон сохранения энергии для баллистического маятника.

6.Чему равен период колебаний баллистического маятника?

52

7.Выведите формулу для определения угловой скорости баллистического маятника.

8.Что называется моментом инерции тела? В каких единицах он измеряется?

9.Какое свойство момента инерции используется при выводе формулы для момента инерции баллистического маятника? Выведите эту формулу.

10.При каких упрощающих предположениях развита теория опыта?

11.Можно ли пользоваться приведенной теорией, если удар пули о мишень происходит под углом, отличным от прямого?

53

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 110

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Литература: Раздел III, стр. 28; раздел IV, стр. 46; [I]§§55, 54, 56, 60.

Цель работы: изучение особенностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.

связанные невесомыми пружинами с коэффициентом жесткости (рис.1), которые могут совершать колебания в параллельных вертикальных плоскостях. Пружины находятся на расстоянии от точек подвеса и , расположенных на одной горизонтальной прямой.

Состояние такой системы в любой момент времени полностью описывается двумя независимыми параметрами – углами и откло-

нения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы. Уравнения движения для каждого маятника можно получить из

общего уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:

как точечную массу , находящуюся на расстоянии от оси вращения.

54

Тогда для каждого из маятников уравнение (1) для малых колебаний примет вид:

;

(2)

.

Если почленно сложить, а затем вычесть уравнения системы (2), то, после деления на , их можно преобразовать к виду:

В результате преобразования система уравнений (2) распадается на два независимых уравнения гармонических колебаний с собственными

(5)

55

Таким образом, в общем случае колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами и , определяемыми выражениями (4). Их называют нормальными частотами.

Итак, в случае произвольного способа возбуждения колебаний (тоесть при произвольном начальном отклонении маятников) каждый из маятников совершает сложное – негармоническое колебание.

Случаи колебания с одной из нормальных частот.

Из уравнений (5) следует, что возможны случаи, когда оба маятни-

симости от способа возбуждения колебаний в системе, т.е. от начальных условий.

дят в одинаковой фазе. Значит, собственные колебания с меньшей часто-

той √ , есть синфазные гармонические колебания обоих маятников.

Значит, собственные колебания маятников с большей из нормальных ча-

ют биения – гармонические колебания с пульсирующей амплитудой (см.

[I], §56).

Каждый маятников совершает как бы гармоническое колебание, но его амплитуда периодически возрастает и убывает с частотой (частота биений), так как благодаря наличию связи между маятниками происходит энергии от одного маятника к другому и обратно. Как бы ни возбуждали маятники, частота биений будет одной и той же. От способа

возбуждения колебаний зависит лишь величина измерения амплитуды при биениях.

Резонанс.

При действии на один из связанных маятников внешней периодической силы частоты оба маятника будут совершать вынужденные колебания с той же частотой. Амплитуда колебаний каждого из маятников будет зависеть от частоты , причем эта зависимость особенно ярко выражена при малом затухании. Резонанс колебаний, или колебания обоих маятников с максимальной амплитудой, наступает в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия совпадает с одной из двух

При медленном изменении частоты внешней силы характерное для резонанса возрастание амплитуда наблюдается дважды при совпадении с каждой из нормальных частот связанной системы. Резонансная кривая имеет двугорбый характер (рис.2).

Таким образом, при воздействии внешней периодической силы на систему, имеющую много степенной свободы и обладающую несколькими значениями собственных частот, резонанс наблюдается на каждой из них. Для устранения нежелательных послед-

ствий, особенно в случае, когда силы трения очень малы, необходимо из-

57

бегать совпадения частоты внешней силы с каждой собственной частотой колебаний.

Описание установки.

Два маятника и стержень для возбужденных колебаний укреплены на кронштейне. Каждый маятник состоит из стержня и перемещаемого груза. Маятники сопряжены друг с другом при помощи двух пружин, закрепленных в специальной С-образной обойме, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.

Такая же обойма позволяет соединить один из маятников со стержнем для возбуждения вынужденных колебаний, который приводится в движение электродвигателем. Величина амплитуды колебаний определяется при помощи угловой шкалы; прикрепленной к нижнему кронштейну. На нем же укреплен фотоэлектрический датчик, световой поток которого пересекает стержень одного из связанных маятников, фотоэлектрический датчик является элементом счетчика периодов, смонтированного в блоке управления и измерений. Там же смонтирован счетчик времени.

Порядок выполнения работы.

Внимание! Для подготовки прибора к измерениям необходимо:

-проверить выравнивание прибора;

-проверить, находятся ли стержни маятников в одной и той же вертикальной плоскости, т.е. имеют ли четыре заложенные пружины одинаковый масштаб.

Упражнение 1. Определение частот нормальных колебаний.

1.Укрепить на нижней части стержней обоих маятников на одинаковом расстоянии от точек подвеса одинаковые грузы.

2.Установить обоймы, крепящие пружины, на верхней части стержней маятников. Соединить пружинами оба маятника. Со стержнем, возбуждающим колебания, маятники не соединять!

58

6. После отсчета прибором около 10 колебаний маятников нажать кнопку

.

7. По показаниям приборов зафиксировать время и число полных коле-

Измерения повторить 5 раз. Результаты измерений внести в таблицу.

Таблица

Определить величину доверительного интервала с заданными преподавателем коэффициентом надежности и записать окончательный результат.

8. Провести аналогичные измерения для противофазных нормальных колебаний, отклоняя связанные маятники в противоположные стороны на одинарный угол около . Обработать полученные значения по схеме обработки результатов прямых измерений и записать окончательный результат.

Упражнение 2. Наблюдение биений и излучение зависимости их частоты от параметров систем и .

1. Придерживая перед пуском один и отклонив другой маятник, добиться возникновения биений колебаний связанных маятников. При этом амплитуды колебаний маятников по очереди изменяются от нуля до максимума.

Изобразить на графике характер зависимости амплитуды колебаний одного из маятников от времени при биениях.

двумя последовательными максимумами амплитуды колебаний маятников.

3. Провести аналогичные исследования, меняя длины маятника при неизменных и ; а также для связанных маятников различной массы ,

Упражнение 3. Наблюдение резонанса.

1. Для возбуждения колебаний связанных маятников внешний силой синусоидального характера следует соединить маятники пружинами со стержнем, возбуждающим колебания, после чего включить питание двигателя (тумблер ).

2. Плавно изменяя число оборотов двигателя в секунду рукояткой , следить за изменением амплитуды вынужденных колебаний маятников. При достижении амплитуды колебаний, рав-

ной примерно , происходит явление резонанса.

60