Методические указания

Законы трения могут быть различными. Важен в практическом отношении случай, когда сила трения пропорциональна скорости:

,

– скорость колеблющегося тела.

Так как все векторы параллельны, уравнение записано в скалярной форме. Уравнение (12) – уравнение свободных (затухающих) колебаний пружинного маятника массой (рис. 4) в случае простейшей упругой деформации – продольного растяжения

(сжатия).

Это уравнение типично для любого маятника с одной степенью свободы. Так уравнение движения крутильного маятника

(9) с учетом сил трения принимает вид:

,, – угловое смещение скорость и ускорение;

–постоянная вращения;

– коэффициент трения при кручении.

Аналогичными являются уравнения движениия для тел, колеблющихся под действием квазиупругих сил:

1) для математического маятника длинной l при малых углах отклонения

2) для физического маятника

31

Это однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Перепишем уравнение свободных колебаний пружинного маятника (12), введя стандартные обозначения.

в виде

. (16)

Решение этого уравнения, т.е. закон, по которому происходят затухающие колебания, имеет вид (рис. 5):

колебаний.

Из уравнений (17) и (18) следует, что затухание сказывается на амплитуде и на частоте, которая несколько уменшается. Однако во многих случаях, когда трение мало, его влиянием на частоту можно пренебречь и приблеженно считать ее равной частоте собственных колебаний .

32

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называется гармоническими? Напишите уравнение и закон гармонических колебаний. Под действием каких сил возникают гармонические колебания?

2.Что называют смещением, амплитудой, периодом, частотой, циклической частотой и фазой колебаний?

3.Что такое физический маятник?

4.Что называют математическим маятником? Какую систему практически можно считать математическим маятником?

5.Выведите формулы циклической частоты и периода колебаний физического и математического маятников.

6.Что такое приведенная длина физического маятника?

7.Какой маятник называют оборотным?

8.Что называют центром качаний физического маятника?

9.Что собой представляет крутильный маятник? Запишите уравнение движения крутильного маятника, а так же формулы для циклической частоти и периода его колебаний.

10.Какие колебания называются затухающими? Что является причиной затухания колебаний?

11.Напишите уравнение и закон затухающих колебаний. Чем они отдичаются от уравнения и закона незатухающих гармонических колебаний?

12.Что называют коэффициентом затухания колебаний? Каков его физический смысл?

33

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 107

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МАЯТНИК

Литература: Раздел IV , стр. 46; [I] , §§ 53,54,33.

Цель работы: определение ускорения свободного падения в данной точке Земли.

Математический и физический (оборотный) маятники часто используют для определения ускорения свободного падения . Из формулы

(8) для периода колебаний математического маятника (стр.48)

Ускорением свободного падения (ускорением силы тяжести) назы-

вается ускорение, которое приобретает тело под действием, силы тяжести. Оно различно в разных точках Земли: так на полюсе оно максимально, а на экваторе – минимально. Объясняется это тем, что на свободно падающее тело действует не только гравитационная сила, обусловленная

центробежная сила инерции, обусловленная суточным вращением Земли вокруг своей оси и направленная по радиусу от центра плоскости сечения, перпендикулярной оси вращения Земли (рис. 1).

.

(для случая, когда высота тела над поверхностью Земли невелика). Здесь – расстояние от тела до зем-

ет сплюснутость земного шара. В итоге ускорение силы тяжести изменя-

го) значения.

Описание установки.

Общий вид универсального маятника дан на рисунке 2.

На массивной подставке 1 закреплена вертикальная колонна 2 с подвижным кронштейном 3 и фотоэлементом 4. С одной стороны кронштейна подвешен математический маятник 5, с другой – физический

35

(оборотный) маятник 6. Кронштейн можно поворачивать вокруг колонны устанавливая к лицевой панели то математическим, то физическим маятником, и фиксировать в нужном положении с помощью винта 7.

Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротка 8, а ее величину определять по шкале на колонне.

Оборотный маятник представляет собой цилиндрический стержень с сантиметровым насечками, на котором укреплены две призмы 9, предназначенные для подвеса маятника. На стержень надеты две чечевицы 10 несимметрично относительно середины: одна – ближе к концу, другая немного сдвинута к середине стержня. Чечевицы фиксируются винтами в пазах насечки.

Нижний кронштейн вместе с фотоэлементом можно перемещать вдоль колонны и закреплять в нужном положении.

Фотоэлектрический датчик соединен разъемом с помещенным на подставке универсальным миллисекундомером 11. На лицевую панель вынесены цифровые табло счетчика времени 12 и счетчика числа периодов (полных колебаний) 13.

Упражнение I. Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника.

Порядок работы.

1.Нижний кронштейн с фотоэлементом установить на делении 50-52 (по верхней грани кронштейна).

2.Повернуть верхний кронштейн к лицевой панели математическим маятником.

3.С помощью воротка 8 установить заданную длину математического маятника. При этом черта на шарике должна совпасть с чертой на корпусе фотоэлемента.

4.Отклонить шарик от положения равновесия на небольшой угол (около

10).

5.Нажать кнопку «СБРОС».

36

ного измерения . Вычислить (в качестве взять 0.001 м). Определить (в ). Выразить в процентах. Записать окончательный результат.

13. Сравнить полученное значение ускорения силы тяжести с его таблич-

Положение ножевых опор в оборотном маятнике соответствует точкам и на рис. 1(стр. 46) физического маятника. Такой маятник может быть подвешен в любой из этих точек без изменения периода колебаний при соответствующем положении чечевиц. Взаимозаменяемые

осей, проходящих через эти точки, могут быть определены на основании теоремы Гюйгенса-Штейнера:

2.Зафиксировать чечевицы на стержне физического маятника следующим образом: одну из чечевиц вблизи одного конца стержня, а другую – несколько сдвинутой от другого его конца к середине стержня. Призмыножи закрепить по обеим сторонам полученной системы так, чтобы они были обращены друг другу лезвиями; проверить, соответствуют ли лезвия ножей насечками на стержне.

3.Закрепить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на ноже, расположенном у конца стержня.

38

4. Отрегулировать положение фотоэлемента (стержень при колебании должен пересекать световой луч).

6. Пункты 6, 7, 8, 9 выполняются так же, как и в упражнении 1.

10.Снять маятник и закрепить его на втором ноже.

11.Определить период колебаний описанным выше способом (один раз.).

Положение чечевиц и первого ножа не менять!

13. Изменять положение второго ножа до тех пор, пока с точностью до сотых долей секунды. Подобрав , повторите измерения ещѐ два

14. Определить приведенную длину оборотного маятника как расстояние

№

п/п

39

Контрольные вопросы.

1.Что называется ускорением свободного падения? Чем объяснить то, что она различно в разных точках Земли?

2.Какие колебания называются гармоническими? Напишите уравнение гармонических колебаний.

3.Что такое смещение, амплитуда, период, частота колебаний?

4.Что называется физическим маятником?

5.Что называется математическим маятником?

6.Что такое приведенная длинна физического маятника?

7.Что называется оборотным маятником?

8.Выведите формулу для периода колебаний математического маятника.

9.Выведите формулу для ускорения свободного падения, определяемого методом оборотного маятника.

10.Что называется моментом инерции тела?

11.В чем состоит теорема Гюйгенса-Штейнера?

40