Методические указания
.pdf
Абсолютно неупругим называется удар, при котором механическая энергия превращается во внутреннюю энергию, происходит пластическая деформация. После абсолютно неупругого удара тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса:
здесь – скорость шаров после удара. Закон сохранения механической энергии не выполняется.
В данной работе рассматривается случай, когда шары непосредственно перед ударом движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс, т.е. удар является центральным и прямым.
Установка, приве-
денная на рисунке, позволяет реализовать как абсолютно упругий, так и абсолютно неупругий центральные удары. Она состоит из двух подвешенных на нитях соприкасающихся шаров, электромагнита, позволяющего удерживать один из шаров в отклоненном положении, шкал для измерения углов отклонения и электро-
секундомера, предназначенного для измерения времени соударения шаров.
Рассмотрим случай упругого удара (оба шара стальные). В этом случае выполняется законы сохранения (1) (систему соударяющихся шаров можно считать замкнутой в условиях данной задачи).
Если один из шаров, например , отклонить на угол , а затем отпустить, то в момент, непосредственно предшествующий удару о
второй, покоящийся шар, он преобретет скорость |
, так что суммарный |
|
импульс системы шаров до удара будет |
. Пусть после удара шар |
|
преобрел скорость , а шар |
– скорость |
. Тогда импульс |
11 |
|
|
системы шаров после удара |
|
|
|
|
|
. Вычислив скорости |
|||||||||||||
, и подсчитав |
и |
, мы должны получить, что |
. |
|
|
||||||||||||||
Шар |
|
, отведенный на угол |
|
|
|
|
|
, обладает потенциальной |
|||||||||||
энергией |
|
(см. рис.), которая в момент удара полностью переходит |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в кинетическую |
|
, |
т.е. |
|
|
|
|
|
, |
откуда |
√ |
||||||||
; |
⁄ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично: |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
{ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь и |
– углы отклонения шаров |
и |
|
после удара. |
|||||||||||||||
Если |
|
, |
то шары как бы обменяются скоростями, шар |
||||||||||||||||
приобретет скорость |
|
, а шар |
остановится. Изменение импуль- |
||||||||||||||||
са шара |
за время удара |
по второму закону Ньютона равно: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
откуда средняя сила удара шаров |
|
|
|
|
|
, |
|
или |
|
|
|||||||||
(5)
Если остальные шары заменить теперь шарами из пластилина, то получим модель второго предельного случая – абсолютно неупругого удара, для которого легко рассчитать общую скорость объединившихся шаров после удара:
√
где – угол, на который отклонялись шары после удара.
Порядок работы.
1.По указанию преподавателя навесить на держатели те или иные шары так, чтобы горизонтальные полосы на них оказались на одной высоте.
2.Проверить, находятся ли острия держателей шаров на нулях шкал (если смещены, обратиться к лаборанту).
12
3.Включить прибор в сеть.
4.Отжать кнопку «Пуск». Правый шар отвести к электромагниту. Запи-
сать угол его отклонения . |
|
5. Нажать кнопку «Пуск». Заметить по левой шкале угол |
отклонения |
левого шара сразу же после удара. Записать его. Записать также время соударения шаров, показанное на табло электросекундомера.
6.Нажать кнопку «Сброс».
7.Измерения повторить, начиная с пункта «4», ещѐ девять раз.
8.Полученную серию десяти измерений для данной пары шаров обработать по схеме обработки прямых измерений, взяв коэффициент надежно-
сти .
9. Средние значения углов и времени соударения подставить соответ-
ственно в формулы (3), (4), (5). Вычислить скорости |
и |
, а так |
||
же среднюю силу удара |
. По формуле (1 |
б), |
зная массы |
шаров, |
вычислить суммарный импульс системы до удара |
и после удара . |
|||
Сравнить их. |
|
|
|
|
Для случая неупругого удара скорость |
объединившихся шаров |
|||
после удара вычислить по формуле (6), подставив туда среднее значение угла . Сравнить левую и правую части закона сохранения (2) для неупругого удара.
10. Сделать выводы.
Упругий удар |
Неупругий удар |
|
|
№ п/п
Контрольные вопросы.
1.Какой удар называется абсолютно упругим? Какие законы выполнятся в этом случае?
2.Что такое абсолютно неупругий удар? Каким законам он подчиняется?
3.Какая деформация является упругой? Пластичной?
13
4.Что называется импульсом тела?
5.В чем состоит закон сохранения импульса? Закон сохранения механической энергии?
6.Опишите метод проверки закона сохранения импульса в данной работе.
14
3. Вращательное движение
Литература: [I], §§36-39, 41-43.
Вращательным движением твердого тела называется его движение, при котором все точки тела описывают окружность с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения перпендикулярна плоскостям, в которых лежат эти окружности.
|
Основными кинематическими |
характеристиками |
вращательного |
||||||
движения являются: угловое перемещение точек тела |
, угловая ско- |
||||||||
рость , численно равна |
|
|
̇, и угловое ускорение |
, численно рав- |
|||||
|
|
||||||||
ное |
|
̈ |
̇. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Линейные характеристики движения точек вращающегося тела свя- |
||||||||
заны с угловыми характеристиками следующими соотношениями: |
|||||||||
|
|
|
|
[ ] |
и |
[ ], |
|
||
где |
и |
– линейная скорость и линейное ускорение, – радиус- |
|||||||
вектор вращающейся точки. |
|
|
|
||||||
|
Угловая скорость направлена вдоль оси вращения таким образом, |
||||||||
что бы с конца вектора |
вращение казалось происходящим против ча- |
||||||||
совой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Направление вектора легко определить по правилу буравчика: если рукоятку буравчика вращать в направлении вращения тела, то вектор будет направлен так же, как и поступательное движение острия буравчика.
Основными динамическими характеристиками |
вращательного |
движения являются момент импульса , момент |
|
силы и момент инерции . |
|
Моментом импульса |
материальной |
точки относительно произвольной неподвижной точки (начала) называется векторное произведе-
ние |
: |
|
|
|
|
|
(1) |
где |
– радиус-вектор, проведенный из начала к |
||
|
15 |
|
|
материальной точке массой |
, движущейся со скоростью |
; |
– импульс этой точки (рис. 1).
Производная по времени |
приводит к уравнению: |
||||
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
||||
|
|
||||
Векторное произведение |
|
|
называется моментом |
||
силы относительно выбранного начала. |
|
|
|||
Уравнение моментов (2) формулируется так: |
производная момен- |
||||
та импульса материальной точки равна моменту действующей на нее силы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||
Уравнение (2) – векторное, его можно спроектировать на любую ось, относительно которой происходит вращение материальной точки (например, ) и для проекции записать следующим образом:
|
|
; |
, |
|
|
. |
|
|
|||||
Величина |
равная произведению массы до оси |
|||||
вращения, называется моментом инерции материальной точки относительно данной оси вращения.
Всякое твердое тело можно представить как систему материальных точек, расстояние между которыми не изменяется во время движения.
Для вращающегося твердого тела уравнение (2) выглядит анало-
гично и получается суммированием |
|
всех материальных точек |
||||||
твердого тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
; |
|
|
|
|
∑ |
. |
|
Таким образом, уравнения (2) можно записать в следующих видах: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основной закон динамики |
|
|
|
; |
|
|
; |
(3) |
вращательного движения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – сумма проекций момента импульса тела на ось вращения, сумма проекций момента внешних сил на ту же ось, момент инерции твердого тела относительно оси вращения.
16
(Индекс проекции в дальнейшем будем опускать.)
Уравнение (3) называется основным законом динамики враща-
тельного движения.
Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения называется сумма моментов инерции всех материальных точек этого тела относительно той же оси: ∑ .
Моменты инерции одного и того же тела относительно разных осей различны. Для параллельных осей вращения выполняется теорема Гюй-
генса-Штейнера:
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Если момент инерции тела массой относительно оси, проходящей через его центр
масс, известен и равен |
, то момент инер- |
|
ции |
этого же тела относительно любой |
|
другой параллельной ей оси равен:
,
где – расстояние между осями.
Моменты инерции относительно данной оси не зависит от характера движения тела, а зависит от его размеров, формы и распределения массы относительно оси вращения.
Физический смысл момента инерции состоит в том, что он играет такую же роль во вращательном движении, как масса в поступательном, т.е. момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении. Это видно, например, из сопоставления основного закона динамики вращательного движения (3) со вторым законом Ньютона для поступательного движения или кинетической энергии вращательного движения с кинетической энергии поступательного движения:
; |
и |
, |
|
|
и |
|
. |
|
|
||
Контрольные вопросы:
1. Что называется вращательным движением?
17
2.Перечислите и определите основные кинетические характеристики вращательного движения.
3.Перечислите основные динамические характеристики вращательного движения.
4.Что называется моментом импульса материальной точки относительно начала? Момент импульса твердого тела.
5.Запишите и сформулируйте уравнение моментов.
6.Что называется моментом силы относительно начала?
7.Сформулируйте и запишите основное уравнение динамики вращательного движения.
8.Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела относительно оси вращения? Каков его физический смысл?
9.Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.
18
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 106
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА
Литература: Раздел III, стр. 26, [I] , §§ 36-39, 41-43.
Описание установки и вывод формулы.
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из 4 стержней, прикрепленных ко втулке с осью. На стержни могут одеваться
одинаковые грузы массой |
, моменты, инерции которых требуется |
|
определить. На шкив радиуса |
, насаженный на |
|
ось вращения маятника, наматывается нить, к |
||
свободному концу которой, переброшенному |
||
через блок, крепится груз массой . Под дей- |
||
ствием этого груза нить разматывается и приво- |
||
дит маятник во вращательное равноускоренное |
||
движение. На вертикальной колонне со шкалой, |
||
вдоль которой движется груз |
укреплены два |
|
фотоэлектрических датчика – верхний подвиж- |
||
ный и нижний неподвижный. Перемещение |
||
верхнего фотоэлемента дает возможность уста- |
||
навливать необходимую высоту |
падения груза |
|
|
. Оба фотоэлемента соединены с электросе- |
|
|
кундомером, |
который фиксирует время про- |
хождения грузом |
расстояния между ними (время падения с высоты |
|
(рис. 2)). |
|
|
Суммарный вращающий момент сил , приложенный к маятнику |
||
равен |
|
|
, |
где |
. |
Силой трения |
в условиях данной задачи можно пренебречь, |
|
так что |
. |
|
С другой стороны, по основному закону динамики вращательного движения
19
|
|
|
|
|
(1). |
Линейное |
|
ускорение |
точек на |
ободе шкива можно определить |
|
исходя из того, |
что груз |
опускается |
с высоты с таким же ускоре- |
||
нием: |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
Угловое ускорение вращения магнитика:
Момент инерции маятника Обербека, выраженный из формулы
(1) после подстановки туда и , оказывается равным: |
|
|
( |
) |
(2) |
Формулу (2) можно применять как для определения момента инерции крестовины с одетыми на нее грузами, так и крестовины без грузов, подставляя соответствующие значения времени t.
Так как момент инерции – величина аддитивная, то момент инер-
ции крестовины с грузами |
, |
где – момент инерции |
крестовины без грузов, |
– момент инерции грузов относительно той |
|
же оси. Отсюда |
. Таким образом, мы получаем эксперимен- |
|
тальное значение момента инерции 4-х одинаковых грузов, одетых симметрично на стержни крестовины, относительно оси вращения крестови-
ны. Момент инерции одного из них |
|
. |
|
|
|
||
Теоретическое значение момента инерции одного груза можно вы- |
|||
числить по теореме Гюйгенса-Штейнера: |
|
|
|
|
, |
|
|
где – момент инерции груза относительно оси, проходящей через |
|||
его центр тяжести и параллельной оси крестовины, |
расстояние между |
||
этими осями (от центра тяжести груза |
до оси вращения крестовины). |
||
Так как размеры груза значительно меньше , то |
можно пренебречь, и |
||
теоретическое значение |
. |
|
Сравнив получение экспериментально и теоретически |
, найдем |
|
погрешность метода: |
|
|
20