2. Лінійний регресійний аналіз

Регресійний аналіз зводиться до визначення на підставі експериментальних даних коефіцієнтів моделі (коефіцієнтів регресії), оцінки значущості величин цих коефіцієнтів і ступеня адекватності моделі.

При статистичній оцінці ступеня адекватності моделі експериментальним результатам найбільше часто використовують критерій величини квадрата відхилення цих результатів від розрахункових значень, отриманих на підставі даної моделі. Процедура оцінки значень коефіцієнтів регресії і адекватності, при якій квадрат відхилення є мінімальним, називається методом найменших квадратів (МНК).

Емпірична формула в загальному виді може бути записана так:

= F(хi, aj),

де х_i – незалежні змінні, a_j – коефіцієнти емпіричної залежності.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими будуть коефіцієнти, знайдені за умови:

min {R(aj)} = (i = 1, 2,... ,n; j = 0, 1,... , m)

(2.1)

тобто мінімуму суми квадратів відхилень між експериментальними (y_i = f(x_i)) і розрахунковими () значеннями.

Коефіцієнти регресії bіa обчислюються по формулах:

	b = ;	(2.6)
	a = .	(2.7)

Дисперсія адекватності моделі характеризує міру відхилення даних , отриманих розрахунком по рівнянню регресії (2.3) від реальних експериментальних результатівy_iдля i-ої точки, у якій проведено вимір. Значення знаходять по формулі:

= ,

(2.8)

при числі ступенів свободи f = n – 2.

Після обчислення дисперсій варто перевірити статистичну значущість a і b. Ця перевірка дає відповідь на питання про те, чи проходить пряма (2.3) через початок координат або ні, і чи відрізняється кут її нахилу від 45⁰. Найбільше простим критерієм значущості для такої перевірки є критерій Стьюдента (t-критерій).

Довірчі границі a і b для цих коефіцієнтів обчислюються за формулами:

a = t · Sa; b = t · Sb.

(2.10)

Коефіцієнти рівняння значущі, якщо виконуються умови |a|>|a|і|b|>|b|. Після визначення коефіцієнтів регресії та оцінки їх значущості (по абсолютній величині) перевіряють адекватність рівняння регресії за допомогою F-критерію:

Fексп= ,

(2.11)

Якщо значення F_експ, отримане по формулі (2.11), менше табличного при обраному рівні значущості, то рівняння = F(х_i, a_j) адекватно описує експериментальні результати.

2.1. Знаходження коефіцієнтів регресії та аналіз рівняння регресії

1) Для лінійної регресії (y = a+ bx) визначаємо коефіцієнти нормальних рівнянь. Для цього за допомогою програмиmnk.exeтреба знайти значення сумx_i, y_i, x, y, x_i·y_i (див.табл. 1).

Система нормальних рівнянь має вид:

8а + 9,1b = 36,8

9,1a + 17,19b = 26,72

Знаходимо значення коефіцієнтів за допомогою тієї ж прикладної програми mnk.exe.Ось їх значення:

a= 7,1183;b= -2,2139

Лінійна регресія має вид:

= 7,1183 – 2,2139x

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл.5).

Таблиця 5

№ п/п	x	y		у–	(у–)2
1	3,0	2,4	0,4767	1,9233	3,6991
2	1,5	2,7	3,7975	-1,0975	1,2045
3	0,5	3,9	6,0113	-2,1113	4,4577
4	0,2	7,0	6,6755	0,3245	0,1053
5	1,0	3,1	4,9044	-1,8044	3,2559
6	2,0	2,6	2,6906	-0,0905	0,0082
7	0,8	3,3	5,3471	-2,0472	4,1909
8	0,1	11,8	6,8969	4,9031	24,0406
					40,9622

Перевіримо адекватність отриманої лінійної моделі та оцінимо її коефіцієнти.

Дисперсія адекватності моделі (по формулі 2.8):

= 40,9622/(8-2) = 6,827

Для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і по рівнянню (2.9):

= = 0,9983

S = = 2,1451

S =1,4646

S _b = 0,9990

Використовуючи формули (2.10) і обравши з табл.3значення критерію Стьюдента приn – k = 6, що дорівнюєt = 2,45знаходимо довірчі границіа іb.

а =2,451,4646 =3,5883

b =2,450,9990=2,4479

Так як по абсолютному розміру |а|>|а|, а|b|<|b|, то коефіцієнти а значущій іbне значущій.

У даному випадку не існує даних для визначення вибіркової дисперсії по результатам паралельних вимірів. Середнє відхилення виміруу:

y = 0,02у_ср=0,02=0,024,6=0,0919

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2максимальне значення дисперсії відтворності складе:

= = 0,0169

Критерій Фішера по формулі (2.11)

F_експ= =403,2987

Табличне значення критерію Фішера (F_табл) знаходимо по числу ступенів свободи чисельника (S) і знаменника (S)

f₁= n - k = 8 - 2 = 6,

,

де n = 8 – кількість експериментальних точок; k = 2 – кількість знайдених коефіцієнтів моделі; m = 2 – кількість паралельних вимірів у кожній точці (приймаємо мінімальне значення m = 2).

По табл. 4F_6,1=234. Оскільки F_експ<F_табл, то лінійна модель неадекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень , що значно відрізняються від експериментальних.

2) Задану нелінійну залежність у = а +bx²необхідно попередньо привести до лінійного виду. Зробимо заміну X = x²,У = у отримаємо лінійну залежність:

У= a + bX

За допомогою програми mnk.exeзнайдемо значення сумX_i,У_i, X,У, X_i

·У_i(табл.6)

Таблиця 6

№ п/п	Х=x2	У= у	ХУ	X2
1	9,00	2,4	21.6	81	1,0597	1,7963
2	2,25	2,7	6.075	5.0625	4,5477	3,4139
3	0,25	3,9	0.975	0.0625	5,5811	2,8262
4	0,04	7,0	0.28	0.0016	5,6896	1,7170
5	1,00	3,1	3.1	1	5,1936	4,3831
6	4,00	2,6	10.4	16	5,6434	1,0887
7	0,64	3,3	2.112	0.4096	5,3796	4,3248
8	0,01	11,8	0.118	0.0001	5,7052	37,1471
	17,19	36,8	44,66	103,5363	38.7999	56,6972