Завдання 1

_{Від центра живлення А (вузол 4) по замкнутій мережі, схема заміщення якої приведена на малюнку 1, одержують електроенергію підстанції, що підключаються до вузлів 1, 2, 3. Напруга центра живлення U4, опори ділянок мережі Zj, j = 1...5 і розрахункові навантаження підстанцій Si, i = 1, 2, 3 представлені у таблиці 1.}

_{Потрібно розрахувати усталений режим для заданої ділянки мережі, тобто визначити апруги у вузлах приєднання навантажень, струми віток, потужності на початку і наприкінці кожної вітки і сумарні втрати потужності в мережі. Задачу варто розв’язати методом вузлових напруг.}

М

ал.1._{Схема заміщення мережі}

Вихідні дані:

Т

аблиця1

UA, кВ	Z1, Ом	Z2, Ом	Z3, Ом	Z4, Ом	Z5, Ом	S1, МВА	S2, МВА	S3, МВА
115	10	9	15	11	18	10	14	8

_Z1 = 50 _S1 = 50

_Z2 = 48 _S2 = 48

_Z3 = 64 _S3 = 64

_Z4 = 30

_Z5 = 70

1. Формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів.

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів у матричному виді:

(1)

Yy– комплексна матриця вузлових провідностей порядку n=3

Uу – матриця-стовпець невідомих міжфазних напруг вузлів;

J(Uу) – матриця-стовпець нелінійних джерел струмів, залежних від напруг;

Yб – матриця-стовпець взаємних провідностей між балансуючим і іншими вузлами;

Uб – міжфазна напруга базисного вузла, що співпадає з балансуючим.

Uб=U_б=U₄ ;  _б = 0.

 Знаходимо матрицю вузлових провідностей Yу:

.

При збігу базисного і балансуючого вузлів матриця Yу симетрична щодо головної діагоналі, кожен її діагональний елемент дорівнює сумі провідностей віток, зв'язаних зк-м вузлом, а кожен недіагональний елемент дорівнює узятій зі знаком мінус сумі провідностей віток, що з'єднуютьi-й і j-й вузли схеми.

Система рівнянь у розгорнутому виді:

=

Одержуємо:

Значення активних і реактивних складових потужностей вузлів, що розраховуються по вихідним даним завдання за формулами: ,

Складаю направлений граф:

Рис. 1 Направлений граф

Знайдемо власні та взаємні провідності:

Складаємо матрицю вузлових провідностей:

Розділяю матрицю вузлових провідностей на дві матриці, активних та реактивних провідностей по формулі :

Розраховую матрицю - стовпець Y_kb взаємних провідностей віток між балансуючим і іншими вузлами та розділяю на матриці активних G_kb і реактивних B_kb складових:

Далі знаходимо значення активних і реактивних складових потужностей вузлів, що розраховуються по вхідним даним завдання (повні потужності у вузлах схеми заміщення) за формулами ,

МВА Мвар

Далі складаємо систему рівнянь, яка приведена у матричному вигляді:

2. Розв’язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів з використанням методу Гауса на кожному кроці ітераційного процесу (зовнішньої ітерації ).

Розрахуємо праві частини системи алгебраїчних рівнянь, для цього задамося початковим наближенням невідомих напруг вузлів на нульовому кроці зовнішньої ітерації.

Розв’язуємо систему методом Гауса

Прямий хід методу Гауса

1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	0,15186	-0,05221	-0,00244	0,08401	-0,01900	7,08498
0,00000	-0,05221	0,09766	0,00000	-0,01900	0,09773	9,02341
0,00000	-0,00244	0,00000	-0,27991	0,14732	0,00000	-15,13197
0,00000	0,08401	-0,01900	0,14732	-0,22942	0,05221	-3,37372
0,00000	-0,01900	0,09773	0,00000	0,05221	-0,09766	-5,16475
1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	1,00000	-0,34377	-0,01604	0,55317	-0,12512	46,65379
0,00000	0,00000	0,07971	-0,00084	0,00988	0,09120	11,45897
0,00000	0,00000	-0,00084	-0,27995	0,14867	-0,00030	-15,01832
0,00000	0,00000	0,00988	0,14867	-0,27589	0,06272	-7,29292
0,00000	0,00000	0,09120	-0,00030	0,06272	-0,10004	-4,27827
1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	1,00000	-0,34377	-0,01604	0,55317	-0,12512	46,65379
0,00000	0,00000	1,00000	-0,01051	0,12391	1,14408	143,75220
0,00000	0,00000	0,00000	-0,27995	0,14877	0,00065	-14,89793
0,00000	0,00000	0,00000	0,14877	-0,27712	0,05142	-8,71280
0,00000	0,00000	0,00000	0,00065	0,05142	-0,20438	-17,38830
1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	1,00000	-0,34377	-0,01604	0,55317	-0,12512	46,65379
0,00000	0,00000	1,00000	-0,01051	0,12391	1,14408	143,75220
0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	-0,53142	-0,00233	53,21563
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	-0,19806	0,05176	-16,62983
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	0,05176	-0,20437	-17,42307
1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	1,00000	-0,34377	-0,01604	0,55317	-0,12512	46,65379
0,00000	0,00000	1,00000	-0,01051	0,12391	1,14408	143,75220
0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	-0,53142	-0,00233	53,21563
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	-0,26135	83,96530
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	-0,19085	-21,76934
1,00000	-0,51874	0,00000	0,87090	-0,46708	0,00000	46,08835
0,00000	1,00000	-0,34377	-0,01604	0,55317	-0,12512	46,65379
0,00000	0,00000	1,00000	-0,01051	0,12391	1,14408	143,75220
0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	-0,53142	-0,00233	53,21563
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	-0,26135	83,96530
0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	0,00000	1,00000	114,06746

Зворотній хід метода Гауса

З шостого кроку ітерації видно, що , із цього рівняння знаходжуU₃^'

На п`ятому кроці ітерації маю , підставляємо у це рівняння вже відому напругуU₃^' , після нескладних алгебраїчних перетворень одержуємо рівняння з однією невідомою , із цього рівняння знаходимоU₂^' . Таким чином розраховуємо усі інші невідомі. Як результат маємо:

U1^'=113,9451 кВ

U2^'=113,7773 кВ

U3^'=114,06746 кВ

U1^''=-0,03718 кВ

U2^''=-0,06479 кВ

U3^''=0,34843 кВ

Подальший розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

для досягнення заданої точності проводимо на ПОМ.

Таблиця 2.1 – Перша ітерація

U1'	U2'	U3'	U1''	U2''	U3''
115	115	115	0	0	0	Початкові наближення
113,94514	113,77731	114,06746	-0,03718	-0,06479	0,34843	Результат
1,05486	1,05486	1,05486	1,05486	1,05486	1,05486	Похибка

Таблиця 2.2 – Друга ітерація

U1'	U2'	U3'	U1''	U2''	U3''
113,94514	113,77731	114,06746	-0,037176	-0,064795	0,3484314	Початкові наближення
113,93466	113,76462	114,05830	-0,03751	-0,06561	0,35017	Результат
0,01048	0,01048	0,01048	0,01048	0,01048	0,01048	Похибка

Таблиця 2.3 – Третя ітерація

U1'	U2'	U3'	U1''	U2''	U3''
113,934658	113,76462	114,0583	-0,037508	-0,065607	0,3501674	Початкові наближення
113,93455	113,76449	114,05821	-0,03751	-0,06561	0,35019	Результат
0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	Похибка

Ітераційний процес зійшовся на 3 кроці зовнішніх ітерацій.