В даних методичних вказівках розглядається один з найважливіших розділів вищої математики. На основі розділів “Векторна алгебра” пояснюють такі питання курсу аналітичної геометрії як площина, пряма в просторі, на площині. Застосовується цей розділ і в дисципліні математичного аналізу та інших дисциплінах.

У зв’язку з цим в методичних вказівках детально розглядаються такі питання: скалярні, векторні величини; вектори, дії над векторами, проекції вектора на вісь, вектор; базис на площині, в просторі; скалярний, векторний, мішаний добуток векторів.

Теоретичний матеріал супроводжується прикладами як технічного, так і ілюстративного характеру. В кінці кожного розділу наведено вправи для самостійної роботи.

Векторна алгебра

1. Скалярні та векторні величини

Величини, що розглядаються в математичних, фізичних та інших дисциплінах, можна поділити на два види: скалярні й векторні. Скалярною величиною (скаляром) називається величина, яка повністю характеризується своїм числовим значенням. Приклади скалярних величин: довжина, об’єм, маса, час, температура, урожайність.

Векторною називається величина, яка характеризується своїм числовим значенням і напрямом в просторі (наприклад, переміщення точки, прискорення, сила).

1.1. Вектори

Векторні величини геометрично зображаються за допомогою векторів. Вектором, зображаючим векторну величину називається:

а) у випадку напрямлений відрізок, довжина якого у вибраному масштабі дорівнює числовому значеннюі напрям якого збігається з напрямом;

б) у випадку — нульовий відрізок.

Вектор позначається: однією (переважно малою) буквою з рискою, або стрілкою зверху (наприклад, або); однією (переважно малою) буквою жирного шрифту (наприклад,); двома великими буквами з рискою, або стрілкою зверху. Перша буква означає початок вектора, а друга — кінець (наприклад,або). Вектор, який є нульовим відрізком, називаєтьсянульовим (нуль-вектор) і позначається .Довжина вектора (або модуль вектора) позначається: ,

Вектор, модуль якого дорівнює 1, називається одиничним вектором і позначається буквами . Одиничний вектор, паралельний і однаково напрямлений з ненульовим вектором, називаєтьсяортом вектора і позначається(рис. 1). Тоді.

Рис. 1

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо з двох векторів хоча б один нульовий, то дані вектори колінеарні.

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо з трьох векторів принаймні один нульовий, то дані вектори компланарні.

Рис. 2

Два вектора називаються рівними, якщо вони колінеарні (), мають однакові модулі () і однакові напрями () (рис. 2). Ясно, що зне випливає.

Рис. 3

Зауваження. Для векторів не встановлено поняття “більше” і “менше”.

Вектор, колінеарний з ненульовим вектором , модуль якого рівний модулюі напрям якого протилежний напрямуназиваєтьсяпротилежним до вектора і позначається(рис. 3).

Рис. 4

Правою (лівою) трійкою векторів називається упорядкована трійка ненульових некомпланарних векторів

зі спільним початком таких, що найкоротший поворот від до, якщо спостерігати його з кінцявідбувається проти руху годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою) (рис. 4).

Рис. 5

Кутом між двома ненульовими векторами називається найменший кут, на який необхідно повернути один з них, щоб він виявився колінеарним і однаково напрямленим з другим, і який вважається невід’ємним (рис. 5). Ясно, що такий кут єдиний і заключений в інтервалі . Кут міжіпозначається.

Вектор, початок якого збігається з початком декартової системи координат, а кінець з точкою називаєтьсярадіус-вектором точки і позначається(рис. 6).

Рис. 6