Вправи для самостійного розв’язування

 Нехай маємо векториі, для яких,,Обчислити.

Відповідь. .

 Маємо взаємно перпендикулярні вектори і, для яких,, Обчислити: а); б).

Відповідь. а) 24; б) 60.

 Вектори задовольняють умову. Довести, що.

 Маємо ,. Знайти: а);

б) ; в).

Відповідь. а) ; б); в).

 Обчислити площу трикутника з вершинами ,

,.

Відповідь. 14.

 Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і, де,,.

Відповідь. 4.

 Сила прикладена до точки. Знайти момент силивідносно точки.

Відповідь. .

 Записати в декартових прямокутних координатах .

 Довести, що якщо , то.

 Довести тотожність .

8. Мішаний добуток векторів

Розглянемо впорядковану трійку векторів ,,.

Мішаним добутком векторів ,,називається скаляр, який дорівнює векторно–скалярному добутку векторів:

. (11)

Мішаний добуток векторів ,,позначається, або

,.

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,,(рис. 34) . Маємо

(оскільки ,

Рис. 34

, ),

тобто

геометричний зміст мішаного добутку полягає в тому, що мішаний добуток векторів з точністю до знака дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Об’єм піраміди, побудованої на векторах ,,можна записати у вигляді

,

оскільки він становить об’єму відповідного паралелепіпеда.

Нехай ,,. Беручи до уваги розклад визначника в (10) за елементами першого рядка, дістаємо

Властивості мішаного добутку векторів

1. Вектори ,,компланарні тоді і тільки тоді, коли(умова компланарності ненульових векторів). Зауважимо, щоколи один з векторів нульовий.

2. Якщо , то трійка векторів,,права;

якщо , то трійка векторів,,ліва.

3. Для мішаного добутку виконується циклічна перестановка

.

4. Якщо у відмінному від нуля мішаному добутку поміняти місцями два будь-яких вектори, то зміниться тільки знак добутку

.

Властивості 3 і 4 випливають з того, що парна перестановка рядків визначника не змінює його знак, а непарна змінює на протилежний.

Приклад 1. Нехай маємо взаємно перпендикулярні вектори ,,, що утворюють праву трійку, для яких,,. Знайти.

Використовуючи властивість 2, маємо .

Приклад 2. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,,.

Маємо

(куб.ед.).

Вправи для самостійного розв’язування

 Маємо вектори ,,, для яких,,,,,. Обчислити.

Відповідь. .

 Обчислити об’єм піраміди з вершинами ,,,.

Відповідь.

 Обчислити висоту піраміди з вершинами ,,,, опущену з вершини.

Відповідь. 11.

 Довести, що точки ,,,лежать в одній площині.

Довести, що при будь-яких тамає місце тотожність

.

 Довести, що вектори



компланарні.

Список літератури

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988.

2. Кулініч Г. Л., Таран Є. Ю. та ін. Вища математика. Кн.1. — К.: Либідь, 1996.

3. Пак В. В., Носенко Ю. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996.

4. Дюбюк П. Е., Кручкович Г. И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики. — М.: Высш. шк., 1965.

5. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986.

ЗМІСТ

1. Скалярні та векторні величини 3

1.1. Вектори 3

2. Дії над векторами 6

2.1. Додавання векторів 6

2.2. Віднімання векторів 8

2.3. Множення вектора на число 9

3. Проекція вектора на вісь і на вектор 12

4. Базис на площині. Розклад вектора по базису на площині 15

5. Базис у просторі. Геометричні задачі 19

6. Скалярний добуток векторів 23

7. Векторний добуток векторів 27

8. Мішаний добуток векторів 30

Навчальне видання