Вправи для самостійного розв’язування

Обчислити , деі— одиничні вектори, для яких.

Відповідь. 11.

 Нехай маємо вектори і, для яких,,. Обчислити: а); б); в); г).

Відповідь. а) –6; б) 9; в) 37; г) –61.

 Нехай маємо вектори ,,, для яких,,

, . Знайти модуль.

Відповідь. 10.

Знайти кут між векторами і,

де та— одиничні вектори, для яких.

Відповідь. 120.

 Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах і.

Відповідь. .

 Точка прикладання сили перемістилась прямолінійно з точкив точку. Знайти роботу, виконану силою.

Відповідь. 14.

Маємо точки ,,,. Довести, що.

 Маємо точки ,,,. Знайти проекцію векторана.

Відповідь. .

 Спільна точка прикладання трьох сил ,

, перемістилась прямолінійно з точкив точку. Знайти сумарну роботу, виконану цими силами.

Відповідь. 13.

7. Векторний добуток векторів

Розглянемо впорядковану пару векторів і.

Векторним добутком векторів іназивається вектор, який задовольняє умови:

1) ;

2) ;

3) вектор напрямлений у той бік, з якого поворот віддона найменший кут здійснюється проти руху стрілки годинника (рис. 31).

Рис. 31

Векторний добуток векторів іпозначається, або.

З умови 2) випливає геометричне тлумачення векторного добутку. Модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори, тобто .

Фізичне тлумачення векторного добутку векторів:

1. Нехай тверде тіло Т обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістюі— будь-яка його точка (рис. 32). Розглянемо три вектори:

а) так званий вектор кутової швидкості , модуль якого дорівнюєі який спрямований потак, що при спостеріганні з його кінця обертання тіла відбувається проти годинникової стрілки;

Рис. 32

б) вектор з початком

на і кінцем в;

в) вектор швидкості точки . Тоді.

Вектори іколінеарні, бо перпендикулярні до однієї і тієї ж площини. Векториімають однакові модулі, оскільки, якщо позначити черезвідстань віддо, отримаємо. Векториімають однакові напрями, що видно з рис. 36.

2. Нехай — сила, прикладена до точки,— будь-яка точка і— вектор з початкомі кінцем(рис. 33). Векторназиваєтьсямоментом сили відносно точки, тобто.

Рис. 33

Властивості векторного добутку векторів (наводимо без доведення)

1. (антикомутативна).

2. (асоціативна).

3. (дистрибутивна).

4. Якщо і— ненульові вектори, тоді

.

Властивість 4 виражає ознаку колінеарності векторів. Зокрема, для будь-якого ненульового вектора :.

Відмітимо дві властивості векторного добутку для векторів в просторі Oxyz з базисом .

1. Із означення векторного добутку отримаємо таблицю добутків ортів :

I / II
	0		–
	–	0
		–	0

2. Якщо і, тобто

і ,

тоді отримаємо вираз векторного добутку через координати векторів, використовуючи властивості добутку та значення таблиці:

За допомогою здобутого результату можна впевнитися в справедливості властивостей векторного добутку, треба тільки врахувати відповідні властивості визначників.

Приклад 1. Знайти довжину орт вектора перпендикулярного до векторів та, якщо,,.

, ;

.

;

.

Приклад 2. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах ,.