Вправи для самостійного розв’язування

Маємо правильний тетраедр РАВС і введемо базис

,,, де,,.

Нехай E і F — центри відповідно граней АВС і РВС. Розкласти по базису ,,вектори: а); б); в); г).

Відповідь. а); б);

в) ; г).

 Нехай маємо трикутник АВС, для якого ,,. Показати, що цей трикутник рівносторонній.

Відповідь. .

 Чи може вектор утворювати з координатними осями кути:

а) 60⁰, 45⁰, 120⁰; б) 45⁰, 135⁰, 60⁰ ?

Відповідь. а) може; б) не може.

 При яких значеннях івекториі

колінеарні?

Відповідь. При і.

 Знайти орт вектора: а) ; б).

Відповідь. а) ; б).

 ,,. Розкласти векторпо базису,,.

Відповідь. .

 Маємо дві вершини трикутника і. Знайти третю вершину, якщо відомо, що середина сторониАС лежить на вісі Oy, а середина ВС — на площині Oxz.

Відповідь. .

 Точки C, D, E, F належать відрізку АВ та ділять його на п’ять частин. Відомі координати точок і. Знайти останні точкиА, В, D, E.

Відповідь.,,,.

6. Скалярний добуток векторів

Розглянемо впорядковану пару векторів і.

Скалярним добутком векторів іназивається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

. (8)

Рис. 29

Скалярний добуток векторів іпозначається, або,

(рис. 29).

Скалярний добуток векторів іназиваєтьсяскалярним квадратом і позначається . Зауважимо, що скалярний добуток більше ніж двох векторів не визначено.

Фізичне тлумачення скалярного добутку векторів. Якщо точка прикладання постійної сили перемістилась прямолінійно з точкиА в точку В, то робота, яку виконує сила дорівнює:

.

Геометричне тлумачення скалярного добутку векторів. Скалярний добуток вектора на одиничний вектор (орт)дорівнює проекції векторана напрям, який визначає, тобто

.

У випадку довільного вектора

.

Беручи до уваги властивість проекції вектора на вісь, маємо

(рис. 29).

Властивості скалярного добутку векторів

1. (комутативна, від лат. comutatus — зміна, перетворення).

 Властивість випливає з означення (8) і того факту, що . Дійсно,;.

2. (асоціативна стосовно скалярного множника, від лат. associo — приєднувати).

 Для випадків івластивість очевидна. Доведемо дану властивість для випадку,.

;

. 

3. (дистрибутивна, від лат. distributivus — розподільний).

 Нехай , тоді

. 

4. Якщо і— ненульові вектори, тоді

, .

5. Якщо і— ненульові вектори, тоді

.

Властивість 5 виражає ознаку перпендикулярності векторів.

 Властивості 4–5 випливають з означення (тут треба врахувати знаки косинуса гострого і тупого кутів, а також те, що ,). 

6. .

 . 

Розглянемо властивості скалярного добутку для векторів в просторі Oxyz з базисом .

1. Із означення скалярного добутку (8) та властивості 5 отримаємо таблицю добутків ортів :

, . (9)

2. Якщо і, тобто

і ,

тоді отримаємо вираз скалярного добутку через координати векторів, використовуючи властивості добутку та формули (9),

.

3. Якщо,, то

.

ПРИКЛАД 1. Знайти модуль вектора , де,,.

.

ПРИКЛАД 2. При якому значенні вектори,взаємно перпендикулярні?

Величину знаходимо з умови, тобто,.

Рис. 30

ПРИКЛАД 3. Доведемо теорему косинусів, тобто що для трикутника АВС з довжинами сторін відповідно ,,виконується рівність.

 Введемо вектори так, як показано на рис. 30. Так як

, то

. 