Кілька властивостей розкладу вектора

по базису на площині

Нехай і:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , причому— колінеарний звектор, то.

 Вектор можна записати у вигляді

. 

7. Якщо , тоі— колінеарні вектори.



—колінеарні вектори. 

Часто розклади векторів по базисах розглядають на площинах, на яких введено декартову систему координат, де в якості базисів вибираються орти координатних осей.

Кілька властивостей розкладу вектора по базису

на площині Oxy з базисом i, j

Нехай на площині Oxy, в якому введено базис , маємо(рис. 25).

1. .

2. Для точки ,.

3. Для точок та:

.

Рис. 25

4. .

5. Якщо — одиничний вектор, то.

ПРИКЛАД 2. На площині введено базис ,. При якому значеннівекториіколінеарні?

Вектори таколінеарні, якщо , тобто .

Вправи для самостійного розв’язування

Розглянемо на площині трикутник АВС , довжина сторони якого дорівнює і введено базис,, де. НехайD — точка на ВС, що знаходиться на відстані відВ. Розкласти по даному базису вектор .

Відповідь. .

 На площині введено базис ,. Нехай,,. Довести, щоABCD — трапеція.

 Розглянемо на площині трикутник ABC і введемо базис,, де. НехайD, E, F — відповідно середини сторін AB, DC, AC. Розкласти по даному базису вектори .

Відповідь. .

 Розкласти по базису вектор з початкомі кінцем.

Відповідь. .

 Знайти кінець вектора , якщо його початок є точка.

Відповідь. .

 . Знайти проекції на координатній осі наступних векторів: а) ; б); в); г); д); е) .

Відповідь. а) ; б) {-3; 4}; в) {-3; 21}; г); д); е).

 Перевірити колінеарність векторів і. Встановити, який з них довший від іншого і в скільки разів, а також як вони спрямовані — в одну чи в протилежні сторони?

Відповідь. Вектор довший векторав 3 рази, вони спрямовані в протилежні сторони.

 Для вектора ,,,. Знайти проекції,векторавідповідно на вісьі.

Відповідь. ,.

 Знайти орт вектора: а) ; б).

Відповідь. а) ; б).

 , . Розкласти векторпо базису,.

Відповідь. .

 , ,. Розкласти: а)по базису; б)по базису; в)по базису.

Відповідь. а) ; б); в).

5. Базис у просторі. Геометричні задачі

Базисом у просторі називається впорядкована трійка ненульових некомпланарних векторів.

Розглянемо базис ,,і вектор.Розкладом вектора по даному базису називається представлення його у вигляді лінійної комбінації векторів ,,. Коефіцієнти лінійної комбінації називаютьсякоординатами вектора в базисі,,:

.

ТЕОРЕМА. Вектор можна розкласти по базису,,, причому такий розклад єдиний.

Доведення проводиться як в теоремі про розклад вектора по базису на площині. Властивості розкладу вектора по базису в просторі аналогічні властивостям розкладу вектора на площині.

Домовимося, що простір Oxyz , в якому введено базис , складений з ортів відповідно осейOx, Oy, Oz будемо називати простором Oxyz з базисом .

Якщо ненульовий вектор, то величини

, ,називаються йогонапрямними косинусами (рис. 26). Так як

, то

і аналогічно

, .

Звідси, застосовуючи рівність

Рис. 26

, доводимо основну властивість напрямних косинусів:

.

Очевидно, що напрямні косинуси вектора визначають його напрям і нічого не говорять про його модуль.

ПРИКЛАД 1. У просторі Oxyz з базисом маємо дві точкиі.

Тоді ,

.

Отже ,,.

Розглянемо деякі геометричні задачі.

Паралельне перенесення осей координат. Нехай спочатку точка М мала координати , а після паралельного перенесення осей — координати. ТочціМ відповідають радіуси-вектори і. Вектор перенесення— заданий. Тоді

(рис. 27).

Рис. 27

Звідси ,,.

Поділ відрізка в даному відношенні. Точка М поділяє відрізок у відношенні , якщо.

Рис. 28

Нехай ,

і — відомі. ЗнайдемоМ. Розглянемо відповідні вектори (рис. 28). Оскільки , а,, то. Звідси

,

або , , . (7)

В окремому випадку, коли відрізок поділяють навпіл , маємо, або, , .

ПРИКЛАД 2. Знайти відношення, в якому координатна площина Оxy ділить відрізок між точками і. Визначити точку перетинуМ.

Нехай пряма АВ перетинає площину Оxy у точці . З формули (7) знайдемо, якщо підставити замістьіаплікати точокА і В:

, таким чином .

Знаючи , визначимо координатитаточкиМ за останніми формулами (7):

, .