Вправи для самостійного розв’язування

 За даними векторами іпобудувати вектор:

а) ;

б) .

 Точка О є центром ваги трикутника . Довести, що

.

 Довести, що з медіан трикутника можна побудувати трикутник.

 Побудувати вектор і знайти, якщо

.

Відповідь. .

 У паралелограма позначено:. Записати черезівекторий, де— точка перетину діагоналей паралелограма.

Відповідь. ,,,.

 —правильний шестикутник. причому . Записати черезівекторита.

Відповідь. ,,,,,,.

 У трапеції відношення довжин основидо довжини основидорівнює. Покладаючизаписати черезтавекторий.

Відповідь. , , , .

 Дано тетраедр . Записати через векториівектори:

а) , деі— середини реберта;

б) вектор , де— точка перетину медіан основи.

Відповідь. ,.

3. Проекція вектора на вісь і на вектор

Рис. 14

Розглянемо вісь та вектор. Проекцією вектора на вісь називається відстань між проекціямиівідповідно точокйна вісьщо береться із знаком +, якщоіне збігаються і напрям віддооднаковий з напрямом, і зі знаком –, якщойне збігаються і напрям віддопротилежний до напряму(рис. 14). Проекція векторана вісьпозначається.

Властивості проекції вектора на вісь

1. , якщо— ненульовий вектор, що утворює гострий кут з віссю;

, якщо — ненульовий вектор, що утворює тупий кут з віссю;

Рис. 16

, якщо — нульовий вектор, або— ненульовий перпендикулярний до осівектор. (Випливає з рис. 15, 16, 17).

Рис. 15

Рис. 17

2. не змінюється при переносі.

3. З не випливає.

Рис. 18

4. Якщо , то(рис. 18).

в)

б)

5. , де— числа, що зображені на осі проекціями точоктана дану вісь (рис. 19).

Рис. 19

а)

г)

 Позначимо через відстань між проекціями.

Для випадку а): .

Для випадку б): .

Для випадку в) і г):

Рис. 20

.

Що і треба було довести. 

6. .

 Як видно з рис. 20

.

.Що і треба було довести. 

Дана властивість узагальнюється на довільну скінчену кількість векторів: проекція суми будь-якої скінченої кількості векторів на вісь дорівнює сумі проекцій цих векторів на цю ж вісь.

7. .

 Для випадків іця властивість очевидна.

Для випадку ,:

.

Для випадку ,(рис. 21):

Рис. 21



Розглянемо тепер ненульовий вектор і вектор.Проекцією вектора на вектор називається проекція вектора на вісь, що спрямована по .

Зауваження. Вісь вводиться тому, що вектор може виявитись “недостатньо довгим”, щоб на нього можна було б спроектувати початок та кінець вектора .

Властивості проекції вектора на вектор аналогічні властивостям проекцій вектора на вісь.

4. Базис на площині.

Розклад вектора по базису на площині

Базисом на площині називається будь-яка упорядкована пара ненульових неколінеарних векторів даної площини (рис. 22).

Рис. 22

Розглянемо базис ,і вектор.Розкладом вектора по даному базису називається представлення його у вигляді лінійної комбінації векторів і. Коефіцієнти лінійної комбінації називаютьсякоординатами вектора в базисіта .

ТЕОРЕМА. Вектор можна розкласти по базису ,, причому такий розклад єдиний (рис. 23).

Розкладемо вектор поі

. (5)

Вектори ізобразимо наступним чином

Рис. 23

, . (6)

Тоді — розклад вектора по базисута.

Рис. 24

ПРИКЛАД 1. На площині дано базис й, де,,. Розкладемо по базису,векторз, який утворює кути 30⁰ з векторами та(рис. 24):

;

, ,

, ,

, ,

, .

Таким чином,

.