Вправи для самостійного розв’язування

Диск обертається з кутовою швидкістю . Описати вектор

швидкості його точки, що розміщена на відстані від осі обертання (рис. 7).

Відповідь. Вектор розміщений на дотичній до траєкторії точки, його модуль рівний і спрямований в бік руху точки.

Рис. 7

Довести, що якщо два вектори неколінеарні, то вони ненульові.

 Довести, що якщо три вектори некомпланарні, то вони ненульові.

 Показати, що якщо в правій (лівій) трійці векторів поміняти місцями два будь-яких вектори, то одержимо ліву (праву) трійку векторів.

 Дано рівносторонній трикутник ABC з центром О. Знайти

, , , , .

 Чи всякі колінеарні вектори є компланарними?

 Чи нуль-вектор можна вважати колінеарним всякому іншому вектору?

2. Дії над векторами

2.1. Додавання векторів

Розглянемо впорядковану сукупність векторів

. (1)

Вектор, початок якого збігається з початком , а кінець з кінцемпри умові, щовідкладемо від кінця, векторвідкладемо від кінцяі т. д. називаєтьсясумою векторів (1) і позначається

(рис. 8).

Рис. 8

Знаходження суми векторів назива-

ється їх додаванням.

Зауваження 1. Якщо при додаванні векторів кінець останнього збігається з початком першого, то сума дорівнює .

Зауваження 2. Додавання двох неколінеарних векторів іможна виконувати за так званимправилом паралелограма (на відміну від цього правила звичайне додавання за правилом трикутника), яке полягає у наступному:

а) вектори ізводяться до спільного початку;

б) будується паралелограм на даних векторах, як на сторонах;

в) діагональ паралелограма, що виходить із спільного початку двох даних векторів є вектором – сумою векторів і(рис. 9).

Рис. 9

ПРИКЛАД 1. Маємо паралелепіпед (рис. 10). Векторє сумою векторів.

Рис. 10

Рис. 11

ПРИКЛАД 2. По прямолінійних рельсах із швидкістю рухається платформа, на якій в перпендикулярному до рельс напрямі з швидкістюрухається тіло

(рис. 11). Швидкість даного тіла відносно землі є вектор , побудований так, як показано на рис. 11.

Властивості додавання векторів

1. ;

2. ;

3. (комутативна властивість, від лат. comutatus — зміна, перетворення);

4. (асоціативна властивість, від лат. associo — приєднувати).

5. , причому рівність має місце тільки тоді, коли вектори колінеарні.

ЗАУВАЖЕННЯ. Властивість 3 узагальнюється на будь-яку скінчену кількість векторів: результат додавання будь-якої скінченої кількості векторів не залежить від порядку їх запису.

Вправи для самостійного розв’язування

 Маємо паралелепіпед , в якому,,. Записати через векторивектори,,,,.

Відповідь. , ,,,.

 Довести, що .

 Вектори ,тамають один початок. Яку умову повинні задовольняти неколінеарні векториі, щоб векторділив кут між ними пополам?

Відповідь. .

 Маємо. Знайти.

Відповідь. .

2.2. Віднімання векторів

Розглянемо упорядковану пару векторів ,. Вектор, який при додаванні здає, тобто початок якого збігається з кінцем, а кінець — з кінцемпри умові, що векториівідкладені від однієї точки, називаєтьсярізницею векторів ,і позначається-

(рис. 12).

Рис. 12

Знаходження різниці векторів називається відніманням векторів. Вектор, який збігається з діагоналлю паралелограма, що з’єднує

кінці векторів, називається вектором-різницею -векторів,.

Властивості віднімання векторів

1. .

2. .

 Доведення.



Вправи для самостійного розв’язування

 Яку умову повинні задовольняти вектори і, щоб:

а) ;

б) ?

Відповідь. а) ; б)іколінеарні, протилежно спрямовані вектори.

 МаємоЗнайти.

Відповідь. 22.

 Маємо . Знайти.

Відповідь. 7.

2.3. Множення вектора на число

Добутком вектора на числоназивається колінеарний звектор, модуль якого дорівнюєтьсяі який спрямований однаково зпри; протилежноприі невизначено — як нуль-вектор — при виконанні принаймні однієї з рівностейі позначаєтьсяабо(рис. 13).

Рис. 13

Знаходження добутку вектора на число називається їх множенням.

Властивості множення вектора на число

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо , то.

 Доведення.

, тобто — одиничний вектор і цей вектор, очевидно, колінеарний і однаково спрямований з.

Отже, . 

7. Якщо , то.

 Доведення.

. 

8. Якщо іколінеарний звектор, то, причому таке представлення єдине. Якщо, то векториі— однаково спрямовані, якщо, то векториі— протилежно спрямовані.

Наведемо кілька більш загальних означень.

Розглянемо вектори

(2)

і числа

. (3)

Вектор називаєтьсялінійною комбінацією векторів (2). Числа (3) називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні , які одночасно не всі дорівнюють нулю, що. (4)

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (4) справджується лише за умови .

Вектор називаєтьсялінійною комбінацією векторів , якщо існують одночасно ненульові ,, такі, що.

ТЕОРЕМА. Якщо вектори лінійно залежні, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації решти і навпаки.

Доведення цієї теореми, яке, до речі, досить просте, опустимо.