ОТМП Височиненко / метод2

Лекція 2

Системи числення

Десяткова система числення

Система числення — це система запису чиcел за допомогою певного на­бору цифр.

У звичній для нас системі запису чисел — десятковій системі числення — для запису чисел використовуються десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. У цій системі будь-яке ціле невід'ємне число подається за допомогою степенів числа 10 (10° =1; 10^і =10; 10² =100; 10³ =1000; 10⁴=10000,...). Число 10 є основою цієї системи числення.

Дійсно, якщо число менше 10, то записується відповідна йому одна цифра.

Якщо число більше або дорівнює 10, але менше 100, то воно подається двома цифрами: перша показує кількість повних десятків, що містяться в числі, друга – кількість одиниць в останньому неповному десятку.

Наприклад:

87=80+7=8*10+7=8*10¹+7*10⁰=87₁₀

(Індекс внизу вказує систему числення, в якій записане вихідне число.)

Кількість цифр, що використовуються для десяткового подання числа, на одиницю більша за показник найбільшого степеня 10, який міститься в числі. Це пов'язано з тим, що в поданні бере участь нульовий степінь числа 10.

Отже, будь-яке ціле невід'ємне число в десятковій системі числення подається у вигляді:

(1)

де кожний з коефіцієнтів є однією з цифр від 0 до 9, які називаються десятковими цифрами, причому а не дорівнює 0.

У десятковій системі запису чисел першою записуються цифра а_n Другою — цифра а_n-1 і т.д., останньою — цифра а₀ Таким чином, десятковим записом цілого невід'ємного числа є послідов­ність цифр а_n, а_n-1,… а₀, що є коефіцієнтами подання цього числа У вигляді (1).

Загальна кількість цифр у десятковому запису числа дорівнює, кількості коефіцієнтів у поданні (1), тобто n+1, де п — показник і найбільшого степеня числа 10, що міститься у вихідному числі.

Коефіцієнти в поданні (1) повинні приймати значення від 0 до 9, причому коефіцієнт а_n не повинен дорівнювати нулю (нуль не може бути першою цифрою числа). Це забезпечує однозначність такого подання. Якщо якийсь з коефіцієнтів більше 9, то відбувається перехід до наступного степеня. Наприклад:

10 * 10³ = 1 * 10⁴;

12 * 10⁴ = (10+2) •10⁴ = 1 • 10⁵ +2 • 10⁴.

Отже, набір десяткових цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 забезпечує однозначне подання будь-якого цілого невід'ємного числа в де­сятковій системі числення.

Двійкова система

Двійкова система числення - це система, в якій для запису чисел використовуються дві цифри 0 и 1. Основою двійкової системи числення є число 2.

Для запису числа в двійковій системі використовується подання цього числа за допомогою степенів числа 2.

Розглянемо на прикладах, як подаються числа за допомогою степенів числа 2.

Спочатку наведемо таблицю значень степенів числа 2.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

0 =0*2⁰

1 =2⁰=1*2⁰

2 =2¹=1*2¹+0*2⁰

3 =2+1=2¹+2⁰=1*2¹+1*2⁰

4 =2²=1*2²+0*2¹+0*2⁰

5 =4+1=2²+2⁰=1*2²+0*2¹+1*2⁰

6 =4+2=2²+2¹=1*2²+1*2¹+1*2⁰

7 =4+2+1=2²+2¹+2⁰=1*2²+1*2¹+1*2⁰

25 =16+8+1=2⁴+2³+2⁰=1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹ +1*2⁰

120 =64+32+8=2⁶+2⁵+2⁴ +2³=1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³ +0*2² +0*2¹ +0*2⁰

У загальному вигляді подання цілого невід'ємного числа за допо­могою степенів двійки записується так само, як і подання (1) із заміною числа 10 на число 2:

(2)

Коефіцієнти а_n, а_n-1,… а₀ у цьому виразі є двійкові цифри 0 або 1, причому _.

Запис числа у двійковій системі відбувається так само, як і в десятковій: першою записується цифра а_п, другою — цифра а_п-1 і т. д., останньою — цифра а_0.

Двійковий код числа - запис цього числа в двійковій системі числення.

Таким чином, двійковим кодом числа є послідовність коефіцієнтів з подання (2).

У наведених прикладах двійкові коди мали вигляд:

0 = 0₂

1 = 1₂

2 = 10₂

3 = 11₂

4 = 100₂

5 = 101₂

6 = 110₂

7 = 111₂

25 = 11001₂

120 = 1111000₂

Коефіцієнти в поданні (2) повинні приймати тільки одне з двох значень: 0 або 1. Це забезпечує однозначність такого подання.

Якщо якийсь із коефіцієнтів більше 1, то відбувається перехід до

наступного степеня числа 2.

Наприклад:

2*2ⁿ=1*2ⁿ⁺¹

3*2ⁿ=(2+1)*2ⁿ=1*2ⁿ⁺¹+1*2ⁿ

Шістнадцяткова система числення

Шістнадцяткова система числення – це система числення, що за основу має число 16. Будь-яке ціле додатне число подасться в ці системі за допомогою степенів числа 16 у вигляді

(3)

16⁰=1, 16¹=16, 16²=256, 16³=4096, 16⁴=65536,…

Шістнадцятковим записом цілого додатного числа є послідовність коефіцієнтів з подання (3).

Наприклад:

18₁₀=16₁₀+2₁₀=1*16¹+2*16⁰=12₁₆

312₁₀=256₁₀+48₁₀+8₁₀=1*16²+3*16¹+8*16⁰=138₁₆

Щоб подання числа в шістнадцятковій системі було однозначним, коефіцієнтами при степенях числа шістнадцять мають бути цілі числа від 0 до 15. Якщо за коефіцієнт взяти число, дорівнюватиме 16, то множення якогось степеня числа 16 на : коефіцієнт дасть наступний степінь числа 16:

16*16ⁿ=1*16ⁿ⁺¹

25*16ⁿ=(16+9) *16ⁿ=1*16ⁿ⁺¹+9*16ⁿ

В ролі коефіцієнтів для запису чисел у шістнадцятковій симтемі використовуються такі шістнадцять символів: 0_, 1, 2_; 3,4,5,6,7,8, 9, А, В, С, D, Е, F. Вони називаються шістнадцятковими цифрами. Десяткові цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 зберігають свої значення і в шістнадцятковій системі:

0₁₀=0₁₆ 1₁₀=1₁₆ ...9₁₀=9₁₆.

Символи А, В, С, D, Е, F відповідають десятковим числам від 10 до 15:

10₁₀=A, 11₁₀=B, 12₁₀=C, 13₁₀=D, 14₁₀=E, 15₁₀=F

Впровадження щістнадцяткових цифр А, В, С, D, Е, F э необхідним, оскільки використовування чисел 10, 11,..., 15 у ролі коефіцієнтів щістнадцяткової системи призводить до неоднозначності прочитанні шістнадцяткових чисел.

Перевід десяткових чисел в інші системи числення

Перевід цілих чисел.

1. Основу нової системи числення виразити в десятковій системі числення і всі подальші дії виконувати в десятковій системі числення.

2. Послідовно виконувати ділення даного числа і одержуваних неплвних часток на основі нової системи числення до того часу, поки не одержимо неповну частку, меншу за дільник.

3. Одержані залишки, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту новіої системи числення.

4. Скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останньої частки.

Перевід дробових чисел.

1. Основу нової системи числення виразити в десятковій системі числення і всі подальші дії виконувати в десятковій системі числення.

2. Послідовно множити дане число і одержувані дробові частини добутків на основу нової системи до того часу, поки дробова частина добутку не стане рівною нулю або не буде досягнута необхідна точність представлення числа в новій системі числення.

3. Одержані цілі частини добутків, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення.

4. Утворити дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого добутку.

Приклад. Перевести десятковий дріб 0,1875 в двійкову, вісімкову і шістнадцяткову - системи.

0 1875 0 1875 0 4875

*2 *8 *16

0 3750 1 5000 1 1250

*2 *8 1 875

0 7500 4 0000 3 0000

*2

1 5000

*2

1. 0000

Тут вертикальна межа відділяє цілі частини чисел від дробових частин.

Звідси: 0,187510 =0,0011₂=0,14₈=0,3₁₆.

Перевід змішаних чисел, що містять цілу і дробову частини, здійснюється в два етапи. Ціла і дробова частини початкового числа переводяться окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа в новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової комою (крапкою).