Корольов / Задач_ТЕКС

ПРИКЛАДИ ВИРІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

(до екзамену з дисципліни ТЕКС).

І. Аналіз електричних кіл постійного струму, методи еквівалентних перетворень

Дві схеми еквівалентні, коли струм і напруга в не перетвореній частині схеми залишаються незмінними.

Задача1. Для електричного кола зображеного на рис. 1.1 визначити еквівалентні опори між зажимами 1¹ -1, 2- 2¹, якщо R₁=6Oм, R₂=15 Oм, R₃=5Oм, R₄=30Oм,

R₅=6Oм.

2

R₃

1

R₁

2

R₅

R₄

R₂

R_2-2¹

=

1¹

2¹

2¹

Розв’язання:

1.Визначити еквівалентний опір між затискачами 1-1¹

Резистори R₄ іR₅ з’єднанні паралельно , тому еквівалентний їм опір

R_4,5=

Знайдений опір R_4,5з’єднано послідовно з опором R₃, виходячи з цього ,

R_{3, 4, 5} = R₃+ R_4,5= 5+5 =10Ом

Внаслідок еквівалентий опір елестричного кола між зажимами 1-1¹ складається з опору R₄до якого послідовно підключенні два паралельно підключених між собою опори R₂ і R_3,4,5

R_1-1= R₁ + 1Oм

2. Визначаємо еквівалентний опір між зажимами 2- 2¹.

Відносно зажимів 2-2¹ опір R₄, R₅ і (R₂+R₃) з’єднанні паралельно, як наслідок,

+

звідси R_2-2=4 Ом.

Опір R_2-2 можна визначити по-іншому:

R_{2 -2}=

Задача №2

Відомі ; ;

.

Знайти вхідний опір і вхіднупровідність.

Розв’язок:

Задача №3

Відомі :

Знайти:

Аналіз електричних кіл при послідовному з’єднанні

Задача №4

Відомі ; ; .

Знайтивхіднийопір і вхіднупровідність.

Вирішення:

1. 

2. 

Аналіз електричних кіл при паралельному і змішаному з’єднанніелементів

Задача №5

Визначити величини струмів і напруг на елементах схеми рис. 1.1:

рис. 1.1

Дано: E = 20 B

=20Oм

=10Oм

=30Ом

Розв'язання:

1. Розраховуємо вхідний опір

2. Знаходимо загальний стум :

I₁=

3. По закону Ома визначаємо напругу на R₂:

U_R2=I₁

4.Розраховуємо струми:

I₂₌ =

I₃=I₁-I₂=0,726 -0,546=0,18A

2.1Алгебраїчні дії з комплексними числами

Будь-яке комплексне число Ȧ можливо записати у показниковій, тригонометричній або алгебраїчній формах.

= Ae^±јα=Acosα±јAsinα=a±јb

Де A= - модуль комплексного числа;

Α=arctg- аргумент комплексного числа;

a=Acosα=R₂() - дійсна частина числа;

b= Asinα=Im() - уявна частина числа;

Алгебраїчна форма відповідає зображеню числа Ȧ у вигляді точки на комплексній площині в декартових координатах, а показникова у вигляді вектора довжиною Ȧзвернутого на кутα.

Показникову форму запису можна отримати з прямокутного трикутника

= Ae^јα

A=

Α=arctg

Зв’язок між показниковою і тригонометричною формами отримуємо з формули Ейлера

e^±јα=cosα±jsinα

При розрахунках з допомогою комплексних чисел зазвичай доводиться переходити від однієї форми запису до іншої. Наприклад, для додаання(віднімання) комплесних чисел застосовують алгебраїчну форму запису. При цьому окремо додають (віднімають) дійсні і уявні частини чисел.

Показникова форма комплекного числа найбільш зручна для множення і ділення чисел.

У цьому випадку модулі чисел перемножують (ділять), а аргументи додають(віднімають).

Приклад.

Дано два комплексних числа:

₁=5+j3,5; ₂=1,8-j4.

Знайти суму, різність, добуток і похідну цих чисел.

Рішення.

При додаванні чисел отримаємо:

=₁+₂=(5+j3,5)+(1,8-j4)=(5+1,8)+j(3,5-4)=6,8-j0,5.

Різність цих чисел дорівнює:

=₁-₂=5+j3,5-1,8+j4=3,2+j7,5.

Для множення і ділення запишемо числа в показниковій формі:

₁=e^{jarctg(3,5/5)}=6,1e^j35

₂=e^{-jarctg(4/1,8)}=4,39e^-j65,8

Тоді

=₁₂=6,1e^j35O4,39e^-j65,80=26,78e^j(35o-65,8o)=26,78e^-j30,8

===1,39e^j(35o+65,8o)=1,39e^j100

2.2. Оригінали та зображення гармонічного струму і напруги

Миттєвий гармонічний струм і напруга називають оригіналами:

i(t)=I_msin(ωt+Ψ_j) ; u(t)=U_msin(ωt+Ψ_u);

де I_m, U_m - амплітуди коливнь;

Ψ_j, Ψ_u - початкові фази коливань.

Зображення гармонічних струмів (напруг)

İ_m(t)=I_me^j(ωt+Ψi) - комплекс миттєвих значень струму

İ_m=I_me^jΨi- комплексна амплітуда струму

İ_m= - комплексний струм

Зображення похідної та інтегралу від гармонічної

=jωİ_m ;=İ_m

2.3 Комплексні опір і провідність кола

При розрахунку кола комплексним методом вводиться поняття комплексного опору ( провідності).

Комплексним опором Z називаєтьсявідношеннякомплексноїнапруги до комплексного струму, викликаногоцієюнапругою.

Z == = = -

Засттосовують три форми запису:

Z = =ᴢcosϕ +jsinϕ =r +jx

де z = = – повнийопір струму;

R = zcosφ – активний опір;

X = zsin φ – реактивний опір;

φ = - = arctg – зсув фаз

Комплексною провідністю Y називається відношення комплексного стуму до комплексної напруги:

Y == = =-

На основі цього запишемо :

Y = y = ycosφ +jy(-sinφ) = G+jB

де y = – повнапровідність;

G=ycosφ – активна провідність;

B= ysinφ – реактивна провідність.

Комплесний опір індуктивності

= jL – алгебраїчнаформа

= L – показникова форма

±j = = cosjsin =0 ±j

–реактивний опір індуктивності (Ом)

Комплексний опір ємності :

- алгебраїчна форма

- показникова форма

- реактивнийопірємності (Ом)

2.4 Вирішення типових задач

Задача№6

Електричне коло утворене послідовним з’єднанням двох пасивних елементів. Визначити напругу на вході кола, її опір і провідність, якщо струм в колі

i(t) =30cos (4*t - 20)мA, а напруга на елементах дорівнює:

(t) = 5cos (4*t +50B; (t) = 3cos (4*t -10B.

Построїти векторну діаграму.

U(t) =

Cкористаємось комплексним методом. Найдемо зображення напруг:

Звідсиотримаємо комплексні амплітуди напруг:

В

В

Тоді комплексна амплітуда на вході рівна:

=+ =

Залишаємо складові в алгебраїчній формі:

j3sin ()= 2,95 – j0,521

Післясумуванняотримаємо:

B.

Знайдемооригінал (миттєве значення ) напруги.

Для цього помножимо на оператор обертання і поформуліЕйлеранайдемореальнучастину (так як вихіднанапруга є функція косинуса) комплексного числа:

U(t) ={δ,99} = 6,99 cos(4*) B.

2. Визначимоопір і провідність кола і їїелементів . Комплексна амплітуда струму дорівнює:

мА

Тоді за законом Ома отримаємо :

Z = = = 233Ом.

Звідси:

r = ᴢcos φ = 233 cos 48,

х = ᴢsinφ = 233 sin48,= 173,8 Ом

Знайдемо опір елементів. в послідовному колі в кожному елементі проходить один і то й же струм , тому

= = = 166,7Ом.

= = = 100 Ом.

Знайдемопровідність в колі:

Y = = = 0,0043См;

Звідси:

y=0,0043 См;

g=ycosφ =0,0043cos 48,= 0,00286См;

в=ysinφ= 0,0043 sin 48,

Аналогічно знайдемо провідність елементів:

= = = 6См;

= = = 10См.

Задача №7

На вхід електричного кола подано напругу U(t) = 10 sin (4*) B. Розрахувати струм на вході і потужність в колі, якщо її комплексний опір дорівнює

Z = 5*Ом.

Розв’язання

1. Розрахуємо струм в колі . Запишемо комплексну амплітуду (зображення) напруги:

В.

За законом Ома розрахуємо комплексну амплітуду струму в колі:

= = = 2 *A

Помножимокомплекснуамплітуду струму наоператоробертання ы за формулою Елеразнайдемооригигінал струму (миттєвезначення):

i(t)=)A.

2. Розраховуємо потужність в колі. Знайдемо складові комплексного опору:

R=zcosφ= 5*

х=zsinφ= 5*

Далівикористовуюча активна потужність кола:

P = R*= R *(2 * ) = 9.4 м Вт

Реактивнапотужність:

Q= x

Повна потужність в колі:

S= = = 10мВА

Потужнністьможна розрахувати іншим шляхом

S = UI = = 10Мв

P = Scos φ = 10 cos (-) = 9,397мВт;

Q = Ssin φ = 10 sin (-) = -3,42мВAр.

Задача №8 Скласти за методом рівняньКірхгофа систему рівнянь для розрахункуструмів в гілках кола (рис. 3.4).

Задамося умовно позитивними напрямками струмів в гілках і напруг на елементах (див. рис. ), а також напрямами обходу контурів.

Вважаючи вузли 1, 2, 3 і 4 незалежними, складемо для них рівняння за першим законом Кірхгофа:

для 1-го вузла: - і₁ – і₂ + і₃ = 0;

для 2-го вузла: і₂ – і₄ + і₅ + і₆ =0;

для 3-го вузла: - і₃ – і₅ + і₈ – і = 0;

для 4-го вузла: і₁ – і₄ - і₇ = 0.

Струми, спрямовані до вузла, враховуються в рівнянняхзі знаком (+), спрямованівідвузла - зі знаком (-). 4. Вибравшинезалежніконтури І-ІУ (див. рис. 4), складемо для них рівняння за другим законом Кірхгофа:

для 1-го контура: - і₁Z₁+ і₂Z₂ + і₄Z₄ = - ;

для 2-го контура: - і₄Z₄+ і₆Z₆ + і₇Z₇ = - ;

для 3-го контура: - і₅Z₅+ і₈Z₈ + і₆Z₆ =;

для 4-го контура:- і₁Z₁+ і₂Z₂ + і₄Z₄ = -+.

Примітка . Падіння напруг на елементах контурів висловимо через - шукані струми в гілках.Спільне рішення отриманих восьми рівнянь дозволяє розрахувати всі невідомі струми в гілках , а потім , якщо необхідно , напруги на елементах ланцюга.З наведеного прикладу видно , що перевага методу рівнянь Кірхгофа полягає в його простоті (з точки зору складання рівнянь). Недолікцього методу - складністьвирішеннясистемирівнянь за великого числа рівнянь та їхрізнорідності .