A = {x : x - целое

число и 12 £ x £ 157} .

Это читается следующим образом:

A - множество всех элементов x таких, что x –

числа из промежутка [12,157].

Здесь P(x) - характеристическое

свойство

или

условие

на

основании которого

осуществляется

отбор

элементов. Строго

говоря,

P(x) -

высказывательная

(пропозициональная) функция.

Говорят,

что

объект a

удовлетворяет

высказывательной

функции, если высказывание, полученное из P(x) подстановкой вместо x

названия объекта

a , т.е. P(a) , является истинным.

Подмножества

Пусть множества A и B

таковы,

что

из условияx Î A

следует,

что

x Î B . Тогда

говорят, что A есть подмножество B , что записывается следующим образом

A Í B

Говорят еще, что

A – несобственное подмножество множества B . Пусть A Í B . Если

можно указать такой элемент x , что x Î B и при этом x Ï A , то

A

называют собственным

подмножеством множества B и обозначают

равны, т.е. A = B .

Операции над множествами

Рассмотрим операции над множествами.

A U B ) называется множество, которое

Объединением множеств A и B (обозначается

состоит из элементов принадлежащих множеству A или множеству B , т.е.

A U B = {x : x Î A или

x Î B} .

множества A , т.е. множество, состоящее

из

упорядоченныхn -ок (a1 , a2 ,K, an ) .

Подмножество,

отношения R . Запись

R(a1 , a2 ,K, an ) означает, что (a1, a2 ,K, an ) Î R .

Одноместные отношения называются свойствами. Двухместные отношения называются

бинарными, трехместные - тернарными и т. д.

Наиболее важное значение для практических приложений имеют бинарные отношения.

В

общем

случае,

бинарное

отношение R

на

множествах X и

Y

определяется,

как

некоторое

подмножество упорядоченных

пар(x, y) Î X ´Y

декартового

произведения

этих

множеств. Как правило, используют обозначение x R y , если x находится в отношении R c y

и x

y

в

противном

случае. Часто используются

и другие обозначения отношений: xry ,

R

y = r(x) . Аналогичным образом можно определить бинарное отношение на множестве X .

Множество

всех

парU = X 2

={(x, y) : (x, y) Î X ´ X}

называется полным

("универсальным") бинарным отношением.

пары(x, y) удовлетворяют условиям

Поскольку

в общем случае не все возможные

накладываемым

отношением R ,

бинарное

отношение

является

подмножеством

полного

Второй способ задания отношения R

на конечном множестве- матричный. Отношение

задается, в общем случаем прямоугольной матрицей. Для этого все элементы множестваX

нумеруются, а элементы матрицы отношения R определяется из соотношения

ì1,

x

i

R x

j для всех i , j .

aij (R) = í

xi

î0,

R x j

проводят направленную дугу к вершине x j , если xi

R x j , то дуга отсутствует.

Иначе

говоря, верхнее сечение - это множество всех y Î X ,

которые

находятся в

отношении

y R x с заданным элементом x Î X , нижнее сечение — множество всех y Î X , с

которыми

заданный элементx Î X находится

в отношенииR .

Отношение

однозначно

-

рефлексивность x R x, "x Î X ;

-

антирефлексивность x

x,

"x Î X ;

R

-

симметричность x R y Þ y R x,

"x, y Î X ;

-

асимметричность x R y Þ y

x,

"x, y Î X ;

R

-

антисимметричность "x, y Î X

x R y = y R x Þ x = y ;

-

транзитивность "x, y, z Î X

из

x R y и y R z Þ x R z ;

Задание

отношения

эквивалентности

равносильно

разбиению

множестваX

на

непересекающиеся

классы ( X = UXi такие,

что X i

I X j = O/ ,

"i ¹ j )

эквивалентных

i

элементов, а именно:

x = y , тогда и только тогда, когда x, y Î X i , т.е. элементы принадлежат

одному классу эквивалентности.

Отношением

нестрогого порядка(используются

обозначения: £ ,

Í ) называется

отношение обладающее следующими свойствами:

x f y ), когда x в каком-то смысле превосходит y .

Это

отношение, как

правило, используется

для

описания

административных,

управленческих, а в общем случае иерархических систем.