Задача 3

Белый гауссовский (нормальный) шум N(t) с односторонней спектральной плотностью мощностиN₀подается на вход фильтра нижних частот (ФНЧ) с заданной АЧХH(f), 0f<.

Необходимо:

1. Найти выражение для спектральной плотности мощности шума X(t) на выходе ФНЧG_X(f) и построить график этой функции.

2. Определить среднюю мощность шума X(t).

3. Определить эффективную ширину спектра f_эфшумаX(t) и показать ее на графике функцииG_X(f).

4. Найти выражение для корреляционной функции шума X(t) на выходе ФНЧK_X() и построить график этой функции.

5. Определить интервал корреляции _кшумаX(t) и показать его на графике функцииK_X().

6. Вычислить произведение f_эф_к.

7. Определить вероятность того, что шум X(t) в произвольный момент времени примет значение в заданном интервале (x₁,x₂).

Студенту задан один из следующих типов ФНЧ:

– идеальный ФНЧ с АЧХ H(f ) =

где F_ср– частота среза ФНЧ;

– RC-фильтр с АЧХH(f ) =,

где _ф– постоянная времени ФНЧ;

– гауссовский фильтр с АЧХ H(f ) = exp( –a²f ²),

де а– коэффициент, определяющий скорость спада АЧХ ФНЧ.

Указания к решению задачи 3

См. [1, разд. 3.1 – 3.9]. Рекомендуется следующая последовательность выполнения задачи 3.

1. Спектральная плотность мощности шума X(t) на выходе ФНЧ определяется соотношением

G_X(f ) = G_N(f )H²(f ) = N₀H²(f ),

график функции G_X(f ) необходимо строить для диапазона значений частоты от 0 до значения, вне которогоG_X(f ) <<G_X(0).

2. Средняя мощность шума X(t) определяется интегралом

.

3. Эффективная ширина спектра f_эфшумаX(t) определяется

илиf_эф=,

значение f_эфнеобходимо показать на графике функцииG_X(f ).

4. Корреляционная функция шума X(t) определяется

,

график функции K_X() необходимо построить для диапазона значенийот 0 до значения, вне которогоK_X()<<K_X(0). Следует проверить выполнение основных свойств корреляционных функций:

• K_X() – четная функция;

• K_X(0) =P_X;

• K_X(0)K_X().

5. Интервал корреляции _кшумаX(t) можно определить одним из следующих методов:

• как значение , при котором функцияK_X() первый раз принимает значение нуль (это удобно в случае идеального ФНЧ);

• как значение , при котором функцияK_X() = 0,1K_X(0);

• с помощью вычисления интеграла

;

значение _кнеобходимо показать на графике функцииK_X().

6. Вычислить произведение f_эф_к, которое должно иметь значение порядка 0,5.

7. Для определения вероятности того, что шум X(t) в произвольный момент времени примет значение в заданном интервале (x₁,x₂), необходимо воспользоваться соотношениемP{x₁<X(t)x₂} =F(x₂) –F(x₁), гдеF(x) – функция распределения вероятностей шумаX(t). Если на входе линейной электрической цепи действует гауссовский процесс, то выходной процесс также имеет гауссовское распределение вероятностей. Для гауссовских процессов функция распределения вероятностей записывается :

где – гауссовскаяQ-функция (одна из форм интеграла вероятностей);

– среднее значение шумаX(t) (в нашей задаче= 0);

_X– среднее квадратическое отклонение шумаX(t), оно определяется

_X=;

D[X(t)] – дисперсия шумаX(t), поскольку= 0, тоD[X(t)] =P_X .

При отсутствии таблиц интеграла вероятностей значения интеграла могут быть определены по приближенной формуле:

Q(z)0,65 exp[–0,44(z+ 0,75)²] приz> 0;

Q(z) = 1 –Q( z) приz< 0,Q(0) = 0,5,Q() = 0.

При определении P_X ,K_X() и_кможно использовать соотношения, приведенные в Приложении Г.