Методичні вказівки Границі
.pdf
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x 1 |
x |
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lim x |
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x 1 x |
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lim |
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lim |
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||||
x |
2x 1 |
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x |
2x 1 |
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або |
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x2 2x |
x |
lim1x 1 |
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lim |
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||||||
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x |
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x |
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x x 2 |
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0 (тому що вираз в дужках прямує до |
1 |
а не до 1) |
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2 |
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(тому що одиниця в будь-якому ступені дорівнює
одиниці). Тому під невизначеністю виду |
1 |
розуміється функція, основа |
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степеня якої прямує до 1 (але не дорівнює тотожньо 1), а показник степеня прямує до нескінченності.
Приклад. Знайти:
а) lim |
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2x 3 4 x |
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; |
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x |
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2x 1 |
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x |
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ln x |
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б) lim |
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x |
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ln 1 x |
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; |
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1 2x2 |
sin x |
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в) lim |
x2 . |
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x 0 |
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Рішення |
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а) Маємо невизначеність виду |
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, тому що lim |
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2x 3 |
1, |
lim 4x . |
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1 |
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2x 1 |
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x |
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x |
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Виділимо у дробі цілу частину |
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2x 3 |
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2x 1 2 |
1 |
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2 |
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. |
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2x 1 |
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2x 1 |
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2x 1 |
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Позначимо y |
2 |
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; коли x , |
y 0 , причому x |
1 |
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1 |
. |
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2x 1 |
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y |
2 |
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||||||
Тепер використовуючи означення числа e , теорему про границю добутку й властивість неперервності складної функції, одержимо
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2x 3 4 x |
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4 |
2 |
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4 |
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2 |
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1 |
4 |
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lim |
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lim 1 y |
|
y |
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lim 1 y |
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y |
lim 1 y |
|
lim 1 |
y y |
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1 e 4. |
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||||||||||||
x |
2x 1 |
y 0 |
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y 0 |
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y 0 |
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y 0 |
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б) Маємо невизначеність виду 0 . Це чітко видно, якщо за допомогою властивостей логарифму подати границю у вигляді
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1 x |
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lim |
x ln 1 x ln x lim x ln |
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lim x ln 1 |
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||||||
x |
x |
x |
x |
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1 |
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1 |
x |
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0 lim ln 1 |
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. |
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|||||
x |
x |
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|
x |
||
На основі неперервності логарифмічної функції перейдемо до границі під символом логарифма, тобто
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1 |
x |
lim ln 1 |
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||||
x |
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x |
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в) Маємо невизначеність виду
lim sin x
x 0 x2
(тому що коли x 0 , |
sin x |
1, а |
1 |
|
x |
x |
|||
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1 |
x |
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ln lim |
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ln e 1. |
|||||||||||
1 |
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|||||||||||
x |
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|
x |
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|||||
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x 0 |
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||||
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||||||
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lim 1 2x2 |
|
1; |
|||||||
lim |
sin x |
|
|
1 |
. |
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||||||||
|
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|||||
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x 0 |
|
x |
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|
x |
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|||
).
Перетворимо вираз й використовуючи неперервність степенево-показникової функції, одержимо
24
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sin x |
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1 |
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lim 1 2x2 |
x2 |
1 |
lim |
1 2x |
|||||||
2 x |
|||||||||||
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x 0 |
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|||
x 0 |
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2sin x |
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|
2 lim |
sin x |
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|
1 |
x |
|
|
|||
x |
x 0 |
e2 1 |
e2. |
||||||
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lim |
1 2x 2 x |
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|||||
|
x 0 |
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§3. ВПРАВИ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗАСВОЄНОГО МАТЕРІАЛУ.
Довести, використовуючи означення границі, що:
1. lim |
2n 1 |
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2. |
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|||||||||||||||
|
n |
n 3 |
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2. |
lim 3x 4 11. |
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||||||||||||||||
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x 5 |
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3. |
lim x2 3 1. |
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||||||||||||||
|
x 2 |
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Знайти границі: |
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|||||||
I) |
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1. lim |
|
5x 2 |
. |
|
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|
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2. lim |
|
2x 7 |
. |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x 4 |
|
2x 3 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
x |
8 |
|
x 8 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. lim |
|
x 2 9 |
|
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|
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|
4. lim |
5x 2 x 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
3x2 2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 3 |
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|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5. lim |
|
|
|
5x7 x 6 |
|
|
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|
|
6. |
lim |
|
5x2 6x 8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x7 |
|
9x2 1 |
|
|
|
x2 |
|
3x 2 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x 2 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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7. |
lim |
5x 2x2 2 |
. |
|
|
8. |
lim |
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|
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|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
2x 1 |
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|
x2 |
2x 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
1 |
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x 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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II) |
|
1. |
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lim |
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x4 15x 6 |
|
2. |
lim |
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1 x 3x3 |
|
. |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
1 x2 3x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x9 2x2 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
lim |
|
|
5x7 x 6 |
|
4. |
lim |
|
|
|
5x4 x 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x7 9x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x x4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5. |
lim |
|
x4 |
|
5x 6 |
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
1 2x x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 1 |
|
|
|
4 x2 3x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x6 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||
III) |
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1. |
lim |
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|
|
|
1 x2 1 |
|
|
. |
|
|
2. |
lim |
|
|
|
|
|
x 2 8 1 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
16 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 5 2 |
||||||||||||||||||
|
|
3. |
lim |
x2 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
4. lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x 2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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5. |
lim |
|
|
|
|
x2 5 3 |
|
|
|
6. |
lim |
|
|
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|
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3x 1 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x |
2 |
2 2 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
5x |
2 |
4 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim x |
|
|
|
x . |
8. lim 3 |
|
3 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 |
x 1 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7. |
|
|
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
x |
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||||||||
(IV)
1. |
lim |
3x 2 5x |
|
|||||||
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
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|||
3. |
lim |
3xtg 3x |
|
|
|
|
|
|
||
1 cos 6x |
|
|||||||||
|
x 0 |
|
||||||||
5. |
lim |
|
7x 2 |
|
|
|
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|
|
1 cos x |
|
|
|
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|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
7. |
lim |
x 5 sin |
|
. |
||||||
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
9. |
lim |
sin 4x |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 1 |
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
1 |
|
|
|
||||
V)
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
||||||
1. |
lim 1 |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
3. |
|
|
2x 1 x 3 |
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x |
|
||||||||||||||
|
x |
1 |
|||||||||||||
5. |
x2 1 |
x3 5 |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
2 |
3 |
||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7. |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
9. lim |
ln 1 3x |
|
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
6x |
|
|
|
|
||||||||
Література
25
2. lim |
1 cos 4x |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. lim |
arctg3x |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. lim 1 tg 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 x . |
|
|||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 6 |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
2xtgx |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 x |
|
|
|
|||||||||||
lim 1 |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 1 x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x 1 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 2x |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 1 |
x2 1 |
|
|||||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1. Высшая математика для экономистов: Учебн. Пособие для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера.- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.- 439 с.
2.Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика. Приклади і задачі/Посібник.-К.:Видавничий центр «Академія», 2003.-624с.
3.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.-2-е изд., испр.- М.:Айрис-пресс, 2004.- 288с.