ТФКП-15.03.14
.pdf2) Задана функція
|
z |
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
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||
f (z) |
(z 1) |
2 |
(z |
2 |
4) |
|
|
||||||
|
|
|
є дробово-раціональною функ-
цією, тобто відношенням двох многочленів, які не мають спільних коренів. Записавши задану функцію у вигляді
f (z)
|
|
z |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
(z 1) |
2 |
(z |
2i)(z 2i) |
|
|
,
і враховуючи, що кратність коренів знаменника визначає порядок полюсів, знаходимо, що особливими точками заданої функції є точки: z 1 – полюс другого порядку; z 2i – простий полюс; z 2i – простий полюс.
Завдання 14. Використовуючи основну теорему про лишки, обчислити інтеграл
y
3
2
О
Γ
|
|
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e |
z |
|
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I |
|
2 |
|
|
d z, |
: |
|
z 2i |
3. |
|
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||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
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|
z |
|
(z 3i) |
|
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|||
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Розв’язання. Особливими точками підінтегральної |
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|
функції є точки |
z 0 |
|
і z 3i . |
Обидві ці точки лежать |
||||||||||||||||||||
|
всередині круга, обмеженого контуром інтегрування. |
||||||||||||||||||||||||
|
Це означає, що підінтегральна функція |
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e |
z |
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f (z) |
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z |
2 |
(z |
3i) |
|
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||||||
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||||
x |
всередині кола аналітична окрім цих точок. Визначимо їх |
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|||||||||||||||||||||||||
|
тип. Для цього обчислимо |
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|
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|
e |
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
e |
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
3i |
|
|||||
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|
|
|
|
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|||
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
z |
(z |
3i) |
|
|
|
|
z |
(z |
3i) |
|
|
|||||||||||||
z 0 |
|
|
|
0 |
|
z 3i |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
Отже, обидві точки є полюсами. Визначимо їх порядок. Для цього розгля-
немо функцію (z) |
1 |
|
z2 (z 3i) |
. Точки |
|
f (z) |
ez |
||||
|
|
|
z 0
і
z 3i
для цієї функції є
нулями. Оскільки (z)
Це означає, що точка |
z |
ку) для функції |
|
3z
3i f (
2 z3 3i(z2 2z) |
, то, очевидно, |
|
0, |
|
|
||||
ez |
(0) |
(3i) 0 . |
||
|
|
|
|
є простим полюсом (полюсом першого поряд-
z) . Знайшовши другу похідну |
|
(z) |
|
z |
3 |
6z |
2 |
6z 3i( z |
2 |
4z 2) |
|
|
|
6i |
|
|
||
|
|
|
|
, переконуємось, що |
|
|
0 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
3i |
||||||
|
|
|
|
e |
|
|
(0) |
e |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
пливає, що точка z 0 є полюсом другого порядку для функції слимо лишки заданої функції в її особливих точках:
з чого ви-
f (z) . Обчи-
res f (z), 3i lim |
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
e |
3i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(z 3i) lim |
|
|
|
|
(cos3 i sin 3), |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z 3i |
z |
(z |
3i) |
|
|
|
z 3i z |
|
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
z |
(z 3i 1) |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||
res f (z), 0 lim |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
||||
|
|
2 |
(z |
|
3i) |
|
|
|
|
|
|
(z 3i) |
2 |
9 |
3 |
|||||||||||||
z 0 |
z |
|
|
|
|
|
|
z 0 |
z |
3i |
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
Застосувавши до шуканого інтегралу основну теорему про лишки, отримаємо
I 2 i res f (z), 3i res f (z), 0 |
2 |
sin 3 3 i(cos 3 1) |
. |
|
|
||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
71
6. Завдання для самостійного розв’язання
Завдання 1. Задано квадратне рівняння
1) |
Знайти корені рівняння z1 і z2 ; |
|
|
2) |
Обчислити в алгебраїчній формі |
1 |
2 |
|
|
2z z |
|
a z |
2 |
bz c |
|
|
|||
|
z |
. |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
0
.
1. |
a 1, |
b 6, |
c 25 |
2. |
a 1, |
b 6, |
c 13 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
a 1, |
b 4, |
c 13 |
4. |
a 9, |
b 6, |
c 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
a 1, b 2, |
c 5 |
6. |
a 1, b 4, |
c 53 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
a 4, b 12, |
c 25 |
8. |
a 4, b 20, c 41 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
a 2, |
|
b 10, |
c 13 |
10. |
a 1, b 2, |
c 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
a 4, |
b 12, |
c 25 |
12. |
a 9, |
b 6, |
c 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
a 4, b 20, |
c 41 |
14. |
a 2, |
|
b 10, |
c 13 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15. |
a 8, |
b 4, |
c 5 |
16. |
a 8, |
b 4, |
c 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
a 1, |
b 6, |
c 13 |
18. |
a 1, |
b 6, |
c 25 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
a 1, |
b 4, |
c 13 |
20. |
a 1, |
b 4, |
c 53 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
a 5, b 4, |
|
c 8 |
22. |
a 5, |
b 4, |
c 8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
a 13, |
b 10, |
c 2 |
24. |
a 25, |
b 12, |
c 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
a 5, |
b 6, |
c 9 |
26. |
a 5, |
b 6, |
c 9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27. |
a 13, |
b 4, |
c 1 |
28. |
a 13, |
b 4, |
c 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29. |
a 25, |
b 12, c 4 |
30. |
a 25, |
b 12, |
c 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 2. Задані комплексні числа |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
метричній та показниковій формах: |
|
|||||
1) |
w z z |
; |
2) w |
z1 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
та
z |
2 |
|
. Обчислити у тригоно-
1.z1 3 i, z2 i
3.z1 3 i, z2 i
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
z1 2 2i, z2 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
7. |
z1 2 2i, z2 1 i |
2.
4.
6.
8.
z1 2 23i, z2 1
z |
|
3 i, |
z |
2 |
3 3i |
1 |
|
|
|
|
z1 1 3i, z2 1 i
z1 2 2i, z2 i
72
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 i |
|
|
10. |
|
1 |
2 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
16i |
|
||||||||||||||||||||||
z |
2i, |
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
2i, |
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
3 i, |
z |
2 |
|
2 2i |
|
|
|
12. |
|
z |
2 |
|
3 2i, |
z |
2 |
25i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
1 i, z |
2 |
2 |
3 2i |
|
|
|
14. |
|
z |
2 2 |
|
3i, |
|
z |
2 |
4i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
2i, |
|
|
|
2 |
1 i |
|
|
|
16. |
|
1 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|||||||||||||||||||||||
z |
3 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
3i, |
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 2 |
3i, |
|
|
z |
2 |
|
|
3 i |
|
18. |
|
z |
1 |
|
3i, |
|
z |
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
1 |
|
|
3i, |
z |
2 |
2 2i |
|
|
|
20. |
|
z |
1 |
|
3i, |
|
z |
2 |
|
2 2i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
1 |
|
|
3i, |
z |
2 |
i |
|
|
|
|
|
22. |
|
z |
|
|
3 i, |
|
z |
2 |
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
i, |
z |
|
|
2 2i |
|
|
|
24. |
|
z |
1 i, |
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
i |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z1 |
1 i, |
z2 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
i |
|
|
|
|
26. |
|
z1 |
|
|
3 |
|
1 |
i, |
|
z2 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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28. |
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i, |
z2 |
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2 |
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Завдання 3. |
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1) |
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Знайти всі значення кореня |
n -го степеня з комплексного числа |
z |
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та зобразити їх на комплексній площині. |
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2) |
Обчислити zn . |
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n 3 |
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2. |
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n 3 |
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4. |
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6. |
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n 3 |
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n 3 |
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10. |
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n 3 |
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n 3 |
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12. |
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n 3 |
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n 3 |
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14. |
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n 3 |
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n 3 |
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16. |
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3 |
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2 |
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8 |
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n 3 |
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18. |
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z |
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4 |
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n 3 |
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1 |
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3 |
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3i |
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73
19.
21.
23.
25.
27.
29.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
z |
2 |
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, |
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n 4 |
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20. |
z |
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8 |
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22. |
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4 |
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1 i |
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1 i |
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8 |
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n 4 |
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24. |
z |
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4 |
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, |
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n 4 |
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3 i |
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3 i |
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26. |
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4 |
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3 i |
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|
3 i |
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1 |
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, |
n 4 |
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28. |
z |
8 |
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n 4 |
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1 |
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1 |
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3i |
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z |
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1 |
, |
n 4 |
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30. |
z |
18 |
, |
n 3 |
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1 |
3i |
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3 i |
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Завдання 4. Знайти логарифми |
Ln z та ln z |
комплексного числа |
z . |
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z i |
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z 1 |
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||||
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2. |
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z i |
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4. |
z 1 |
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z 1 i |
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6. |
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z 2 2i |
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z 1 i |
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8. |
z |
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2 |
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2i |
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z 1 i |
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10. |
z |
2 |
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2i |
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z 1 i |
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12. |
z 2 |
3 2i |
|
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z |
3 i |
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14. |
z 2 |
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3 2i |
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z |
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3 i |
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16. |
z 2 |
3 2i |
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z |
3 i |
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18. |
z 2 |
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3 2i |
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z |
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3 i |
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20. |
z 2 2 |
3i |
|
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z 1 |
3i |
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22. |
z 2 2 |
|
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3i |
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z 1 |
3i |
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24. |
z 2 2 |
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3i |
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z 1 |
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3i |
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26. |
z 2 2 |
3i |
|
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z 1 |
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3i |
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28. |
z 2 2i |
|
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z |
2 |
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2i |
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30. |
z 2 2 |
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3i |
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Завдання 5. Представити в алгебраїчній формі:
1. |
|
i |
|
2. |
|
|
i |
|
|||
cos |
|
|
sin |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
3. |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
sin |
|
i |
|
tg |
|
i |
|
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
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4 |
|
|
|
5. |
|
|
|
|
6. |
ctg |
|
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i |
|
|
tg |
|
i |
|
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|
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|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
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3 |
|
|
74
7. |
ctg |
|
i |
|
8. |
cos |
|
|
|
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
ctg |
|
i |
|
10. |
cos |
|
|
|
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
tg |
|
|
|
i |
|
|
12. |
sin |
|
|
i |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
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4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
sin |
|
i |
|
14. |
sin |
|
i |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
15. |
cos |
|
i |
|
16. |
1 i |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
1 |
|
i |
|
|
|
|
18. |
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
1 |
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
3 i |
|
|
|
|
1 |
3 i |
3 i |
|
|||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
21. |
1 |
|
|
|
|
|
|
22. |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
6 i |
|
|
|
|
1 |
6 i |
6 i |
|
|||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
23. |
1 |
|
i |
|
|
|
|
24. |
1 |
|
i |
1 |
|
i |
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
e |
4 |
|
e |
|
|
|
||||||
25. |
tg |
|
|
|
i |
|
|
26. |
ctg |
|
|
i |
|
||||||
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
tg |
|
|
|
i |
|
|
28. |
ctg |
|
|
i |
|
||||||
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
29. |
tg |
|
|
|
i |
|
|
30. |
ctg |
|
|
i |
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
Завдання 6. Геометрично зобразити множини точок |
z |
комплексної |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
площини, що задовольняють заданим співвідношенням: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 Im z, |
|
Re z |
2, Im(z 2) 0 |
|
2. |
|
2 Re z |
z |
, Re(z 2) 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
z i |
2, |
0 arg z |
|
|
|
4. |
|
|
z i 1, |
|
3 |
arg z |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
|
z i |
1, |
|
|
|
arg z 0 |
|
|
6. |
|
|
z 1 i 1, |
arg z |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z i 2, 0 Im z 2 |
|
|
8. |
|
|
z 1 1, 0 Re z 3, 1 Im z 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 i |
1, |
|
0 Re z 3, |
0 Im z 3 |
|
10. |
|
|
z |
|
3, |
1 Ime z 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
1, |
|
Im z 0 |
|
|
|
|
|
12. |
|
|
Im z |
|
, Re z 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z 1, z i |
|
1 |
|
|
|
|
|
14. |
|
0 Im z 2, Re z 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
2, |
|
|
z 1 |
|
|
|
2 |
|
|
16. |
|
|
z 8 16, |
z 3 9, |
Im z 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 z |
2, |
|
0 arg z |
3 |
|
|
18. |
|
|
z |
|
1, |
arg z |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
z i |
|
|
2, |
0 Re z 1 |
|
|
20. |
|
|
z |
|
2, |
1 Im z 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
21. |
|
z 4, 1 Re z 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
23. |
|
z 2 |
|
2, 0 Im z 3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
25. |
Re z |
1 |
, |
|
|
arg z |
|
|||||||||
|
4 |
4 |
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
1 Im z 2, |
|
|
|
arg z |
|
3 |
|
||||||||
4 |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29. |
Re 1 z |
|
z |
|
, |
|
arg z |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 7.
1) Представити задані
w u(x, y) iv(x, y)
|
22. |
|
z 1 |
i |
1, Im z 1, Re z 1 |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
24. |
|
z 1 |
1, |
Re z 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
z 1, |
arg z |
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
z i |
1, |
|
|
arg z |
|
|
||
|
|
4 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
30. |
|
Re z |
1 |
, |
|
|
arg z |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
w |
|
z x i y |
|
|
||||
функції |
f (z), |
|
у вигляді |
2) Перевірити виконання умов Коші-Рімана, и ті функції w обчислити значення її похідної у точці
у випадку аналітичнос-
z |
0 . |
|
1. |
a) |
w 2z |
2 |
z |
b) |
w z Im z |
|
|
|
z |
2i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
a) |
w 2z e |
z |
|
b) |
w 2z iz |
|
|
z |
|
/ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
a) |
w 3z |
2 |
iz |
b) |
w Re(z |
2 |
) |
|
z |
1 i |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
a) |
w z |
3 |
3z |
b) |
w iz |
|
|
|
|
|
z0 1 i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
a) |
w 2z |
2 |
3z |
b) |
w Im(z |
2 |
) 3i |
z |
|
1 3i |
||||||||||
|
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
a) |
w 2z |
3 |
iz |
b) |
w 2z 3iz |
z |
i |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
a) |
w 3z iz |
2 |
b) |
w z Re z |
|
|
|
z |
1 2i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
a) |
w 5 iz |
2 |
|
|
b) w z z |
|
|
|
|
z |
1 i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
9. |
a) |
w 3e |
z |
|
|
|
|
|
b) |
w z Re z |
|
|
|
z |
|
/ 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
a) |
w 4iz z |
2 |
b) |
w z i Im z |
z |
2 i |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
a) |
w z2 iz |
|
|
b) |
w iz |
2 z |
|
|
z0 |
2 i |
||||||||||
12. |
a) |
w 3z2 |
2iz |
b) |
w iz Im z |
|
|
z0 |
1 3i |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
a) |
w 2sin z |
|
|
|
b) |
w z |
2 |
iz |
|
|
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
a) |
w 3cos z |
|
|
a) |
w (z z ) |
2 |
i(z z ) |
z0 |
/ 2 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15. |
a) |
w 2z sin z |
b) |
w z Re(z |
2 |
) |
z |
|
/ 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
a) |
w 3z sh z |
b) |
w z Re(z |
2 |
) |
z |
|
/ 3 |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17. |
a) w 3z 2 iz2 |
b) |
w z2 Re z |
|
|
z0 1 2i |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
18. |
a) w 2z2 3iz |
b) |
w z Re z |
|
|
|
z0 2 i |
||||||||||||||
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76
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
a) |
w 4z 5 / z |
b) |
w z |
2 |
z |
2 |
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z |
1 2i |
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0 |
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||||
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a) |
w z e |
z |
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b) |
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2 |
) |
z |
z |
/ 2 |
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w Re(z |
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0 |
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||||||||||
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a) |
w 2z |
3e |
z |
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b) |
w 3z z |
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z |
/ 2 |
||||
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|||||||||||
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0 |
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a) |
w sin3z i |
b) |
w Im(z |
2 |
) |
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z |
/ 3 |
||||||||
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|||||||||||||||
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0 |
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||||||
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a) |
w cos2z 3i |
b) |
w iz |
2 |
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z |
/ 2 |
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0 |
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|||
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a) |
w z 1/ z |
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b) |
w z Im(z2 ) |
z0 |
3 |
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a) |
w 2 3 / z |
b) |
w z Im(z |
2 |
) |
z |
|
2 |
|||||||||
|
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|
|||||||||||||||
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|
|
0 |
|
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a) |
w 2iz 3z |
2 |
b) |
w z Re(z |
2 |
) |
z |
1 2i |
|||||||||
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|||||||||||||||
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0 |
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||||||||||||
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a) |
w 2cos2z z |
b) |
w z Im z |
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z |
/ 2 |
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|
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|
|
0 |
|
a) |
w z 4sin3z |
b) |
w z Im2 z |
z0 |
/ 3 |
||||||||||||
a) |
w z2 3z 2 |
b) w z 2 |
|
|
|
|
|
z0 1 i |
|||||||||
a) |
w 2 3e |
z |
|
|
b) |
w z |
2 |
|
|
|
|
|
z |
/ 2 |
|||
|
|
|
|
|
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|||||||
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|
0 |
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||||||
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Завдання 8. Обчислити інтеграл.
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z Re zdz |
L |
– відрізок прямої |
y x |
від точки |
z |
|
0 |
до точки |
|
z |
2 |
1 i |
|||||||||||||||
|
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|
1 |
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L |
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Im zdz |
L |
– дуга параболи |
y x |
2 |
|
від точки |
|
z |
|
0 |
до точки |
|
z |
|
|
|
|
1 i |
|||||||||
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1 |
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2 |
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L |
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|
|
z dz |
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|
L |
– дуга кривої y sin x, |
|
0 x |
|
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L |
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z z dz |
|
L |
– відрізок прямої |
y x |
від точки |
z |
|
0 |
до точки |
|
z |
2 |
1 i |
||||||||||||||
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1 |
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L |
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|
2z |
2 |
dz |
L |
– дуга параболи y x |
2 |
|
від точки |
|
z |
|
0 |
до точки |
|
z |
|
|
|
|
1 i |
||||||||
|
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||||||||||||||||||||
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1 |
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|
2 |
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||||||||||
L |
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|
Re(z |
2 |
)dz |
L |
– відрізок прямої y 2x 1 від точки |
z |
2 |
1 i |
до точки |
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|
|||||||||||||||||||||||||||
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z |
2 3i |
|
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L |
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|
(3z z )dz |
2 |
|
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|
0 |
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|
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|
|
|
|
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2 4i |
|||||||
|
L |
– дуга параболи y x |
2 |
від точки |
z |
до точки |
z |
|
|
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1 |
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|
2 |
|
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|||||||||
L |
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Re2 |
z Im2 zdz |
L |
– відрізок прямої y x |
від точки |
|
z |
|
0 |
до точки |
|
z |
2 |
2 2i |
||||||||||||||
|
|
|
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1 |
|
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L |
|
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|
Im |
2 |
z dz |
L |
– дуга параболи y x |
2 |
від точки z1 |
0 |
до точки z2 |
|
|
|
2 4i |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||
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L |
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|
z dz |
|
|
L – відрізок прямої y 2x від точки z1 0 |
до точки z2 1 2i |
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L |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
Re z dz |
L |
– дуга параболи y x |
2 |
від точки z1 |
0 |
до точки z2 |
|
|
|
2 4i |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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L |
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|
|
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|
|
|
|
|
Re zdz |
L – відрізок прямої y 0 |
від точки z1 0 |
до точки z 5 |
|||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
z Re zdz |
L – відрізок прямої y 1 2x від точки z1 |
i до точки z2 1 i |
||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
dz |
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
|
|
|
|
|
||
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
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|
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(z |
2 |
z z )dz |
|||||||
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||||||||
L |
|
|
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z Im(z |
2 |
)dz |
|||||||
|
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
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Re(z |
2 |
)dz |
|||||||
|
|||||||||
L |
|
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z Re zdz |
|||||||||
L |
|
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|
|
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z Re z dz |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
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|
z |
2 |
|
Im zdz |
||||||
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z Im z dz |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
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|
z Im zdz |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
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|
z |
2 |
z dz |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
2 |
dz |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
|
2 |
2z)dz |
||||||
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
|
2 |
z z )dz |
||||||
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
Re zdz |
|||||||
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
Re z dz |
||||||
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
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(z z )dz |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
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|
|
(z zz )dz |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
– відрізок прямої |
y 3x |
від точки z1 |
1 3i |
до точки |
|
z2 2 6i |
||||||||||||||||||||||||||
L |
– дуга кубічної параболи |
y x |
3 |
від точки z1 |
1 i |
до точки |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
1 i |
|
|
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|
|
|
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|
|
L |
– відрізок прямої y x від точки |
z |
0 |
|
до точки |
z |
2 |
1 i |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
L |
– дуга параболи |
y 2x |
2 |
від точки |
z |
0 |
|
до точки |
z2 |
1 2i |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
L |
– дуга кубічної параболи |
y 2x |
3 |
від точки |
z |
|
1 2i |
|
до точки |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z2 2 16i |
|
|
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|
|
|
|
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|
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L |
– відрізок прямої |
y 2x |
1 від точки |
z |
|
i |
до точки |
z |
2 |
|
1 3i |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
L |
– дуга кубічної параболи |
|
|
|
3 |
від точки |
|
z |
|
0 |
до точки |
||||||||||||||||||||||
y x |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z |
1 i |
|
|
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2 |
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|
L |
– дуга кубічної параболи |
y 3x |
3 |
від точки |
z |
|
0 |
до точки |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
1 3i |
|
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|
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L |
– відрізок прямої |
y x 2 від точки |
z |
|
2i |
|
до точки |
|
z |
2 |
1 3i |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
L |
– відрізок прямої |
y 2x 3 від точки |
z 3i |
|
до точки |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
z |
2 i |
|
|
|
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2 |
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|
|
L |
– відрізок прямої |
y 3x 2 від точки |
|
z1 |
2i |
до точки |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
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L |
– дуга параболи |
y x |
2 |
|
1 |
від точки |
z |
|
i |
до точки |
z2 |
|
1 |
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1 |
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L |
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y x |
3 |
3 |
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z |
3i |
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– дуга кубічної параболи |
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від точки 1 |
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|
до точки |
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z |
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1 2i |
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1 |
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L |
– дуга параболи |
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y x |
2 |
1 |
від точки |
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z |
|
i до точки |
z |
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1 2i |
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1 |
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1 |
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L |
– відрізок прямої |
y x 3 від точки |
|
z |
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3i |
до точки |
|
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|
1 |
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z |
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1 2i |
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1 |
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L – дуга параболи y 3x2 |
від точки z1 |
0 |
до точки |
z2 |
1 3i |
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L |
– дуга кубічної параболи |
y 3x |
3 |
від точки |
z1 0 до точки |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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z2 |
1 3i |
|
|
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|
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|
1.
3.
5.
Завдання 9. Обчислити інтеграл від аналітичної функції:
1 i |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
(z |
2 |
i z) dz |
2. |
|
(3z |
2 |
z) dz |
|
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|||||||
0 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
2 i |
|
|
|
2 i |
|
|
||
|
(z2 4) dz |
4. |
|
( 3z2 2) dz |
||||
i |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
(z2 2z) dz |
6. |
cos2 z dz |
|||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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(2z |
2 |
5) dz |
8. |
ze |
2 z |
dz |
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 2i |
|
|
|
|
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|
|||||
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( 2z |
2 |
3) dz |
10. |
|
ln z |
dz |
|||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
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||||||||||||||||||
i |
|
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|
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1 |
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|
|
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||||
|
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||||
i |
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|
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|
i |
|
|
|
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(2z |
4 |
|
3z |
3 |
) dz |
12. |
ze |
z |
dz |
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1 |
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|
|
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0 |
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|
|
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i |
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|
i |
|
|
|
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z ln z dz |
|
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14. |
cos 2z cos z dz |
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1 |
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|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
sin 2z sin z dz |
16. |
i |
sin 2z cos z dz |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ln(z |
1) |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
dz |
18. |
sin |
|
|
z d z |
||||||||||||||||||
|
z 1 |
|
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1 |
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|
|
0 |
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|||||||
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||
i |
|
|
|
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1 i |
|
|
|
|
|
|
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(z 2) dz |
|
|
20. |
|
(z 1) cos 2z dz |
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1 |
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|
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0 |
|
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1 i |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
1 i |
ln z |
|
|
||||||||
(2z 1)sin z dz |
22. |
|
|
dz |
||||||||||||||||||||
|
2z |
|
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0 |
|
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|
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2i |
|
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|||||
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|||
2 i |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
2i |
|
|
|
|
|
|
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|
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||
|
d z |
|
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|
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24. |
|
ze |
z |
dz |
||||||||||||
|
|
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||||||||||||||
z |
2 |
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||||||||||||||
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|||||||||
1 |
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|
0 |
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|
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|
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|||
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|||
i |
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|
2 |
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|
|
i |
|
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|
ze |
z |
dz |
|
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z ln 2z dz |
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|
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26. |
||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
0 |
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1 |
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1 i |
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|
i |
|
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|
|
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|
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(2z i) dz |
28. |
sin z cos 3z dz |
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0 |
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|
|
0 |
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|
i |
|
|
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|
|
|
i |
|
|
|
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|
|
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|
sin2 2z dz |
|
|
30. |
sin 2z sin 3z dz |
||||||||||||||||||||
0 |
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|
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|
|
0 |
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Завдання 10. Використовуючи формули Коші, обчислить інтеграл:
|
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e |
z |
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2 |
dz |
a) |
: z 2i |
1; b) : z 2; c) |
: z 3 1 |
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z (z 3) |
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sin z |
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dz |
a) : z 2i 1; b) : z 1; c) : z 2i 1 |
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z (z 2i)2 |
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|
z |
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dz |
a) |
: z 3 2; b) : z i 1; c) |
: z 2 2 |
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||||||||||||||||||||
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(z 2)2 (z i) |
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||||
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|
cos z |
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dz |
a) : z 2 |
1 |
|
|
: z i 1; c) : z 2 1 |
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|
|
|
|
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|
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|
; b) |
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(z i)2 (z 2) |
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2 |
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|
ez |
|
dz |
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|
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a) |
: z 3i 2; b) |
: z 1 2; c) : z 1 1 |
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|
z2 1 |
|
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sin z |
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dz |
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1 |
|
1 |
|
1 |
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a) : z 3 |
|
|
; b) |
: z |
|
; c) |
: z i |
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z2 (z i) |
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2 |
2 |
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
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dz |
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(z |
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3) |
2 |
(z |
i) |
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||||||||||||||||
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z |
2 |
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|
|
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dz |
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(z |
|
6i) |
2 |
(z 1) |
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||||||||||||||||||
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||||
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|
z2 1 |
dz |
|
|
|
|||||||||||||||
|
z (z 2)2 |
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
||||||||||
|
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|
|
|
3 |
|
|
|
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|
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z |
2 |
(z 2) |
dz |
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||||||||||||||
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cos z |
|
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dz |
||||||||||
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|||||||||||||||||
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(z i)2 (z 3) |
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e |
z |
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dz |
||||||
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(z |
i) |
2 |
(z |
2) |
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e |
z |
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dz |
||||||
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(z |
i) |
2 |
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(z |
3) |
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sin z |
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dz |
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||||||||||
|
z |
2 |
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9 |
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||||||||||
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e |
z |
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dz |
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|||||||
|
z |
2 |
(z 3i) |
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||||||||||||||
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sin z |
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dz |
||||||||||
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(z |
i) |
2 |
(z |
2) |
|||||||||||||||||
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z 2 |
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dz |
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z |
2 |
(z 4i) |
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e |
z |
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dz |
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(z |
1) |
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(z |
i) |
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cos z |
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dz |
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z (z 4i)2 |
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sin z |
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dz |
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(z |
2i) |
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(z 1) |
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ez |
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dz |
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(z 1)2 (z i) |
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z 4 |
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dz |
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z (z 2)2 |
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z |
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(z |
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(z |
i) |
dz |
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cos z |
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dz |
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(z i)2 (z 3) |
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a) |
: z |
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b) |
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: z 2; c) |
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: |
z 3 1 |
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a) : z |
1 |
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; b) : z 1 1; c) : z 6i 2 |
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2 |
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a) : z 3i |
2; b) : z 1; c) |
: z 2 1 |
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a) |
: z 2i |
1; b) |
: z |
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1 |
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; |
c) |
: z 2 1 |
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2 |
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a) |
: z |
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; |
b) |
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: z i 1; c) |
: z 3 2 |
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2 |
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a) |
: z |
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; |
b) |
: z i 1; c) |
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: z 2 2 |
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a) |
: z |
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; |
b) |
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: z i 1; c) |
: z 3 2 |
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2 |
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a) |
: z 2; b) |
: |
z 3i 2; c) |
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: z 3i |
1 |
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a) : z 2 1; b) |
: z 3i |
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2; c) : z 1 |
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a) : z |
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1 |
; b) : z i 1; c) : z 2 2 |
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2 |
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a) : z 2 1; b) |
: z 2; c) |
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: z 4i |
1 |
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a) |
: |
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z 2 |
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1; b) : |
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z 1 |
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1 |
; c) : |
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z i |
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1 |
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a) |
: z 4i |
1; b) |
: z 2; c) |
: z 4i 1 |
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a) : z 1; b) |
: |
z 2i 1; c) |
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: z 1 1 |
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a) |
: z i 1; b) : z i |
1; c) : z 1 1 |
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a) : z 2 1; b) |
: z 1; c) |
: z 2 1 |
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a) |
: |
|
z |
|
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1 |
; |
b) |
|
: |
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z i |
|
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1 |
; |
c) |
: |
|
z i |
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1 |
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2 |
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2 |
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a) : z 3 2; b) : z i 1; c) : z 3 1
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