Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП-15.03.14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

			n		z z0 R .
			n	,
	f1 (z) cn (z z0 )			,
	n 0
Головна частина є степеневим рядом по степенях змінної

f	2 (z) cn	n	cn (z z0 )		n	,	z z0	r .
f	2 (z) cn		cn (z z0 )			,	z z0	r .
	n 1		n 1

z		)	1
	0

(3.6)

(3.7)

Областю збіжності цього ряду є область, зовнішня до круга					z z	0	r	. Якщо
Областю збіжності цього ряду є область, зовнішня до круга						0		. Якщо
r R , то існує спільна область збіжності правильної та головної частин ря-
ду Лорана – кругове кільце	r	z z	R	, в якому ряд (3.5) збігається до фу-
ду Лорана – кругове кільце		0		, в якому ряд (3.5) збігається до фу-
нкції f (z) .
Оскільки ряди (3.6) та (3.7) є звичайними степеневими рядами, то у
вказаній області функція	f (z)	має всі властивості суми степеневого ряду.

Це означає, що ряд Лорана (3.5) збігається всередині свого кільця збіжнос-

ті до функції f (z) , аналітичної у даному кільці. Якщо						r 0 , то областю збі-
жності є коло радіуса R з виколотим центром					z0 .
У замкненому кільці	r r	z z	0	R R	ряд Лорана збігається до фун-

кції f (z) рівномірно, тому його можна почленно диференціювати. Скористаємось цією властивістю для визначення коефіцієнтів ряду Лорана аналі-

тичної функції		f (z)	. Поділимо рівність (3.7) на				(z z0 )	n 1	і проінтегруємо

вздовж кола	:	z z	0	,	r R	:

f (z) dz
				k
		n 1
(z z	)			c
			k
0

(z z	)		k		dz
							k
0				n 1
							c
(z z		)				k
0

dz
(z z		)	n k 1
	0

Згідно з прикладом, розглянутим раніше, інтеграл під знаком суми дорівнює нулю при k n , і дорівнює 2 i при k n , тому

cn	1	f (z) dz			,	n 0, 1, 2,
	2 i	(z z	)	n 1

		0

(3.8)

Таким чином, справедлива наступна Теорема Лорана. Кожна функція, яка аналітична у круговому кільці

r z z	R	, може бути єдиним способом розкладена у цьому кільці в ряд
0		, може бути єдиним способом розкладена у цьому кільці в ряд

Лорана, який рівномірно збігається у будь-якій замкненій області, що цілком лежить у кільці.

Теорема (обернена).	Якщо ряд (3.6) збігається у круговому кільці
r z z0 R , то його сума	f (z)	аналітична у цьому кільці, і цей розклад є
рядом Лорана для функції	f (z) .

Областю збіжності ряду Лорана є кругове кільце r z z0 R , на межах якого є хоча б по одній особливій точці аналітичної функції f (z) , до якої збігається ряд (3.5). Коефіцієнти ряду Лорана не залежать від способу, яким їх отримано. Оскільки формула (3.8) не завжди зручна для обчислення коефіцієнтів ряду Лорана, то частіше використовують інші прийоми, які ми розглянемо на прикладах.

f (z)

Приклад

		1
		(z 1)(z
		(z 1)(z

1. Розкласти в ряд Лорана в околі точки

. 2)

z	0	0
	0

функцію

Розв’язання. Функція

f (z) має дві особливі

нують три кругових «кільця» з центром у точці нкція аналітична:

1)круг z 1 ,

2)кільце 1 z 2 ,

3) зовнішність круга	z	2	.

точки: z 1 і z z 0 , у кожному

2 , тому іс- з яких фу-

У цьому прикладі неважко отримати розклад функції в ряд Лорана у кожному з «кілець», не вдаючись до формул для обчислення коефіцієнтів.

1) Розклад у крузі	z	1	.

Функцію

f (z)

можна розкласти на суму двох елементарних дробів:

1	1	1	.
(z 1)(z 2)	z 2
		z 1

Оскільки

1	1		1
z 2	2			z
		1
				2

, а функція

	1
	1	z
	1	2
		2

є сумою геометричного ряду

1			z	z	2	z	n
1		1	z	z		z
	z	1	2	2	2	2	n
1					2		n

	2
	2

, знаменник якого						z		1		, то
						2

1	1	z		z	2		z		n

z 2			2		3			n 1
	2	2		2		2

(a)

Аналогічно отримаємо

1	1	1	z z	2	z	n
				2		n
z 1	1 z

(b)

причому ряд у правій частині збігається, оскільки

(b), отримаємо ряд Тейлора

. Склавши ряди (a) і

			1					1						1					1			2
										1						z 1					z
		(z 1)(z				2)		2		1					2	z 1				3	z
		(z 1)(z				2)		2					2						2
коефіцієнти якого cn 1											1		(n 0, 1,					);			c n	0
коефіцієнти якого cn 1									2		n 1		(n 0, 1,					);			c n	0
									2
2) Розклад у кільці 1 z													2 .
Ряд (a) залишається збіжним, оскільки																							z
оскільки	z 1		; тому його замінимо наступним:
оскільки			; тому його замінимо наступним:
					1		1				1					1		1							1
																	1
				z	1		z				1					z	1	z							z
				z	1		z				1					z		z							z
									1
									1			z
У кільці 1 z			2 цей ряд збігається, оскільки																					1
У кільці 1 z			2 цей ряд збігається, оскільки																					z
																								z
(a) і (c), отримаємо ряд Лорана

	1			n	,
1			z
	2	n 1

(n 1,	2,		) .

2 , але ряд (b) розбігається,

1	1	(c)
z2	zn

1 . Додавши ряди

(z 1) .

1			1			z		z	2		z		n			1		1				1
1			1			z		z			z					1		1				1
(z 1)(z 2)			2		2		2	2	3		2	n 1				z		z	2			z	n
							2		3			n 1							2				n

з коефіцієнтами cn	1	(n 0, 1,						2,		);	c n			1			(n 1,				2,	) .
з коефіцієнтами cn	n 1	(n 0, 1,						2,		);	c n			1			(n 1,				2,	) .
2
3) Розклад в області		z		2		.
3) Розклад в області						.
Ряд (c) залишається збіжним, оскільки															z 2 ,					але ряд (a) розбігається,
тому його замінимо наступним:

1	1	1
z 2	z	1	2
z 2	z		2
			z
			z

Ряд (d) збігається, оскільки

2n 1

(d)

1 . Склавши ряди (c) і (d), отримаємо ряд

Лорана

				1		1		22 1				2n 1 1
						z2			3				zn
			(z 1)(z 2)			z2		z	3				zn
з коефіцієнтами	n	0		(n 0, 1, 2,		);		n	2	n 1	1		(n 1, 2,	)	.
	c	0		(n 0, 1, 2,		);		c	2		1		(n 1, 2,	)
Приклад 2. Отримати розклад в ряд Лорана в околі точки
					f (z)				1		.
					f (z)						.
							(z 1)(z 2)

z	1
0

функції

Розв’язання. У даному випадку маємо два кругових

центром у точці

z 1

1)	круг з виколотим центром	0 z 1 1		,

2)	зовнішність круга z 1 1.
У кожному з цих «кілець» функція			f (z)		аналітична, а на

особливі точки. Розкладемо у кожній з цих областей функцію пенях різниці

1) Розклад в області	0		z 1	1	.
	0		z 1	1

Як і у прикладі 1, отримаємо
		1				1	1	.
	(z 1)(z 2)					z 2	z 1	.
	(z 1)(z 2)					z 2	z 1

«кільця» з

межах має f (z) по сте-

Далі запишемо

1	1		(z 1)	(z 1)	2	(z 1)	n	,


z 2	1 (z 1)	1

причому ряд у правій частині збігається, оскільки

1	1	1	(z 1)	(z 1)	2
		1	(z 1)	(z 1)

(z 1)(z 2)	z 1

z 1 1. Тому

(z 1)	n		,
	n

тобто отриманий ряд є рядом Лорана з коефіцієнтами

cn 1 (n 1, 0, 1, 2,

); cn 0 (n 1) .

2) Розклад в області z 1 1. У цій області

1		1			1		1			1			1	1
												1
z 2		(z 1)			z 1		1			z 1		1	z 1	(z 1)	2
z 2		(z 1)	1		z 1		1			z 1			z 1	(z 1)
						1
						1			z 1
		1	1				1				,

	z 1			(z 1)2				(z 1)n

причому геометричний ряд збігається, оскільки ряд Лорана

1	1		1		1

(z 1)(z 2)		z 2		z 1	(z 1)2

	1	1
z 1		1
z 1
		1
	(z 1)n

. Остаточно маємо

коефіцієнти якого

cn 0 (n 1, 0, 1, 2,

); cn 1 (n 1) .

3.4. Деякі прийоми розкладу функцій в ряд Лорана

Загальна формула (3.8) для обчислення коефіцієнтів ряду Лорана, як правило, незручна для обчислень. У деяких випадках можна застосовувати більш прості прийоми.

Для того щоб розкласти в ряд Лорана раціональну функцію, достатньо скористатися представленням правильного раціонального дробу у вигляді суми елементарних дробів, як це було зроблено у розділі 3.2 (приклади 1 і

2). Елементарний дріб вигляду

дріб вигляду	1		(k 1,	k
дріб вигляду	(z a)	k	(k 1,	k
		k

	1	розкладається в геометричний ряд, а
	z a	розкладається в геометричний ряд, а
	z a
)	– в ряд, отриманий		(k 1) -кратним дифе-

ренціюванням геометричного ряду.

При розкладі в ряд Лорана ірраціональних та трансцендентних функ-

цій іноді можна використати розклади в ряд Тейлора функцій

sin z,

cos z, ln(1 z) ,

біноміальний ряд та інші відомі розклади. Так, наприклад, в

околі точки

можна записати

(1)

cos

z 2

2!(z 2)

(2n)!(z

Іноді необхідно спочатку перетворити функцію, яку розкладають

	Приклад 1. Розкласти в ряд Лорана в околі точки		z0	1
sin	z	.
sin		.
	z 1

Розв’язання. Виконаємо очевидні перетворення:

в ряд. функцію

sin	z	sin	1	1	sin1	cos
	z1			z1

звідки, використовуючи розклади функцій отримаємо

	1
	z1

	sin z

cos1 sin

і cos z

	1	,
	z1	,
	z1

в ряди Маклорена,

sin

sin1

cos1

sin1

( 1)n

sin1

( 1)n

cos1

z 1

2!(z 1)2

(2n)!(z 1)2n

(2n 1)!( z 1)2n 1

Якщо нескінченно віддалена точка є правильною точкою для функції

f (z) , то розклад в ряд в околі нескінченно віддаленої точки зводиться під-
становкою	z	1	до розкладу функції f	1	( )	в ряд Тейлора в околі
		1		1

точки 0 .

Приклад 2. Розкласти в ряд Лорана в околі точки

	z
f (z) e	z 2	.
f (z) e		.

функцію

															f			( ) e	1
Розв’язання. Поклавши						z		1	,		отримаємо				f		1	( ) e	1 2	, причому
								1									1		1 2

точка 0	є для цієї функції правильною точкою. Диференціюючи функ-
цію ( ) , послідовно отримаємо
	( ) e		1	,		(0) e,
	( ) e	1 2		,		(0) e,
		1 2
					2				1
	( )				2		e	1 2			,	(0) 2e,
								1 2
			(1	2 )
						2
			1			8						4
	( ) e		1 2			8						4		,		(0)		12e,
	( ) e													,		(0)		12e,

						(1 2 )				3		(1 2 )	4
						(1 2 )						(1 2 )

і так далі. Тому

				z			2	6
( ) e (1 2 6	2	)	e	z 2	e	1	2	6
( ) e (1 2 6		)	e		e	1

							z	z	2
							z	z

 

Ряд збігається зовні круга радіуса R 2 (тобто при особливою точкою функції є точка z 2 .

), оскільки єдиною

3.5. Нулі та ізольовані особливі точки аналітичної функції

3.5.1. Нулі аналітичної функції

Нулем аналітичної функції

f (z)

називається кожна точка z0 , в якій

функція дорівнює нулю, тобто виконується рівність

) 0

. Розклад ана-

літичної функції

f (z) в ряд Тейлора в околі її нуля

f (z

має вигляд

f (z) c (z z )

(z z )

m 1

де cm 0 . Номер

m молодшого відмінного від нуля коефіцієнта цього розк-

ладу називається порядком або кратністю нуля

. Якщо m 1 , то точка

називається простим нулем. У нулі порядку

виконуються рівності

f (z

) f (z )

(m 1)

) 0,

(m)

(z )

m! c

тобто порядок нуля дорівнює порядку молодшої відмінної нуля похідної функції f (z) у точці z0 . Якщо точка z0 є нулем порядку m аналітичної фу-

нкції	f (z) , то цю функцію можна записати у вигляді	f (z) (z z )m (z) , де
		0

функція (z) також аналітична у точці

і (z0 ) cm 0 .

Приклади. Знайти нулі наступних функцій та визначити їх порядок.

1)	f (z) ln z ;	2)	f (z) 1 cos z .
1)	Знайдемо нулі функції f (z) ln z . Для цього розв’яжемо рівняння
ln z 0 . Звідси дістанемо z0			1 – єдиний нуль функції. Щоб визначити його

порядок, обчислимо похідну:

f (z)	1	,
	z

f (z	0	)
	0

. Отже,

z	1
0

є нулем пер-

шого порядку.
2)	Розв’яжемо рівняння		1 cos
		. Обчислюємо далі: f
f (z) sin z ,	f (zk ) 0	. Обчислюємо далі: f

0, z)

zk cos

2 f

k,	k
(z		)
k



Обчислимо

. Отже, точ-

ки

z	k	2 k
	k

є нулями другого порядку.

Точка

z	0

називається ізольованою особливою точкою функції f (z) ,

якщо f (z) є аналітичною у круговому кільці бливою точкою функції f (z) . У самій точці

	z z	0
		0

функція

, а точка z0 є осо- f (z) може бути не

визначена. Функцію

f (z)

в околі точки

z	0

можна розкласти в ряд Лорана,

який збігається в кільці

0 z z	0	R
	0

(у крузі з виколотим центром).

Ізольовані особливі точки можна класифікувати або в залежності від вигляду ряду Лорана в околі ізольованої особливої точки, або в залежності від поведінки функції f (z) в околі цієї точки. При цьому можливі три випадки.

Типи ізольованих особливих точок

усувна	полюс по-	істотно
усувна	рядку m	особлива
	рядку m	особлива

3.5.2. Ряд Лорана функції

точки	z	0
	z

f (z)

в околі її скінченної ізольованої особливої

1) Ряд Лорана функції

від’ємними степенями різниці f

(z) (z

(z)

z	)
0


n 0

околі точки z0 не містить членів з , тобто має вигляд

cn (z z0 )	n	.

Легко побачити, що у точці існує скінченна границя

lim z z0

f (z)

. В усіх

точках кільця збіжності ряд Лорана збігається до функції

f (z) . Якщо функція

f (z) не визначена у точці	z	0 , то доповнимо її означення, поклавши		f (z0 ) c0 .

Якщо первинне значення	f ( z0 )		не співпадає з c0 , то змінимо його,	поклавши
f (z0 ) c0 . Після цього функція			f (z) , що задана таким способом, аналітична
всюди всередині круга z z0 R і розрив функції f (z) у точці z0				усунуто.

Тому ізольована особлива точка z0 у випадку, коли ряд Лорана не містить головної частини, називається усувною особливою точкою функції f (z) .

Приклад. Знайти особливу точку функції

	f (z)	sin z
	f (z)	z
		z

і показати, що во-

на є усувною.

Розв’язання. Функція не визначена у точці z0 0 , тобто це її особлива точка. Скориставшись розкладом функції sin z у ряд Маклорена, отримаємо

sin z

f (z)

тобто c0

1. Якщо покласти

f (0) c0

, то функція

f (z) буде неперервною і

аналітичною в точці z0 0	, а значить, на усій комплексній площині.
2) Ряд Лорана функції	f (z) в околі точки z0 містить скінченну кількість
m членів з від’ємними степенями різниці (z z0 ) , тобто має вигляд


f (z)	cn (z z0 )	n
f (z)	cn (z z0 )
	n m

У цьому випадку точка z0 називається полюсом порядку m		функції
f (z) . Якщо	m 1, полюс називається простим. В околі полюса модуль фун-
кції f (z) необмежено зростає незалежно від способу, яким точка z		прямує
до точки z0	: lim f (z) . Якщо z0 – полюс порядку m аналітичної функції
	z z
	0

(z)

, то функцію можна представити у вигляді

де

		f (z)
(z)	– аналітична функція, і (z0
	lim	f (z)
	z z
	0

Зауважимо, що коли точка

	(z)					,
	(z z		)	m


		0
) c m 0						. Звідси випливає, що
(z z0 )		m			c m .

є нулем порядку							m аналітичної функції

g(z)

, вона є полюсом того ж порядку

функції

f (z)

1 g(z)

, і навпаки. Це

дає дуже простий зв’язок між нулями і полюсами аналітичної функції. Приклад. Знайти полюси заданих функцій і визначити їх порядок:

f (z)

1
z (z 1)	2	(z i)	3

; 2)

f (z)	1 cos z
	z	4

Розв’язання.

1) Для функції g(z) 1/	f (z) z (z 1)		2	3
				(z i) точка z1 0 є простим нулем
(першого порядку), точка z		1 є нулем другого порядку, точка z i є ну-
2				3
лем третього порядку. Для функції f (z)				ці точки є полюсами першого, дру-

гого та третього порядку, відповідно.
2) Функція не визначена у точці z0	0	, тобто це її особлива точка. Скори-

ставшись розкладом функції cos z

у ряд Маклорена, отримаємо

	1				z	2	z	4	z	6	1		1	z	2
f (z)	1			1	z		z		z		1		1	z
f (z)		4	1	1								2
	z	4			2!		4!		6!		2!z	2	4!	6!
	z				2!		4!		6!		2!z		4!	6!

тобто точка z0 0 є полюсом другого порядку.
3) Ряд Лорана функції f (z) в околі точки	z0

кість членів з від’ємними степенями різниці (z

f (z) cn (z z0 )n .

містить нескінченну кіль- z0 ) , тобто має вигляд

У цьому випадку точка

z	0

називається істотно особливою точкою

функції

(z)

. Згідно з теоремою Сохоцького-Вейєрштрасса, в околі істотно

особливої точки

z	0

функція

f (z)

може приймати будь-які комплексні зна-

чення, тому у цій точці не існує скінченного або нескінченного граничного

значення аналітичної функції.	f (z) e	та дослідити її.
Приклад. Знайти особливу точку функції	f (z) e	та дослідити її.
	1/ z

кції.

Розв’язання. Очевидно, що точка			z0 0 є особливою точкою цієї фун-
Розкладемо функцію e	t	в ряд Маклорена:

Цей

t 1 /

ряд збігається на всій комплексній площині t . Покладемо зараз

z	і отримаємо розклад в ряд Лорана функції f (z) e1/ z :

1/ z	1	1	1		1		1
e		1! z	2! z	2	3! z	3	n! z	n

який збігається до аналітичної функції на всій комплексній площині, виключаючи точку z0 0 . Оскільки ряд Лорана містить нескінченну кількість

членів з від’ємними степенями z , то точка z0 0 є істотно особливою точ-

кою функції	1/ z	.
	f (z) e

3.5.3. Ряд Лорана функції

f (z) в околі її нескінченно віддаленої ізольова-

ної особливої точки z

Нескінченно віддалена точка комплексної площини є ізольованою особливою точкою аналітичної функції f (z) , якщо у деякому околі нескінченно віддаленої точки, тобто зовні круга достатньо великого радіусу з

центром у точці z 0	, функція f (z) не має інших особливих точок.
Розклад функції	f (z) в ряд Лорана, який збігається всюди зовні круга

достатньо великого радіусу з центром у точці z 0 (крім, можливо, самої нескінченно віддаленої точки) назвемо розкладом в околі нескінченно від-

даленої точки. Заміна

		1
		z
		z

відображує окіл нескінченно віддаленої точки

z z



на окіл точки			0 . Оскільки функція f (z) аналітична в околі точки
, то функція	f z	1	( ) аналітична в околі точки 0 , і її можна роз-
		1

класти в ряд Лорана в околі цієї точки:

							c n
			( ) cn n c0 cn n				c n		.
			( ) cn n c0 cn n				n		.
			n	n 1	n 1
Ряд		n	є правильною частиною, а ряд			c		n	– головною частиною
Ряд	c0 cn		є правильною частиною, а ряд					n	– головною частиною
							n
	n 1				n 1

ряду Лорана функції ( ) . Повернувшись знову до змінної z , отримаємо розклад функції f (z) в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки

	c	n		c
f (z)		n	c0	n	c n zn ,
f (z)		n	c0	n	c n zn ,
n z			n 1	z	n 1

у якому ряд

c		c
c		n
		n
0	n 1 z		n
	n 1 z

є правильною, а ряд

	z
c	z
	n
n
n 1

– головною частиною роз-

кладу. При цьому знову можливі три випадки:

1) Ряд Лорана не містить членів з додатними степенями

, тобто

f (z) c

n 1

Тоді функція

f (z)

обмежена в деякому околі точки

, і

віддалену точку можна вважати правильною точкою функції

ши	f () lim f (z) c		. Якщо	c	c	c	0 , то точка	z
	z	0		0	1	m 1
	z

нескінченно f (z) , поклавназивається

нулем порядку	m	функції	f

2) Ряд Лорана містить пенями z :

(z) .

скінченну кількість

членів з додатними сте-

f (z)

zm c

zm 1

z c

1 m

n m

тобто модуль функції необмежено зростає при z :

lim

f (z)

. У цьому

випадку нескінченно віддалена точка

називається полюсом порядку

функції f (z) .

3) Ряд Лорана містить нескінченну кількість членів з додатними степе-

нями

z , тобто

f (z)

, або функція f (z) необмежена в околі точки

і границя

lim

f (z)

не існує,

ані скінченна, ані нескінченна. Тоді не-

скінченно віддалена точка

називається істотно особливою точкою

функції f (z) .

Зведемо результати даного розділу у таблицю.

Типи

точок

усувна

полюс порядку m

істотно особлива

	Поведінка функції
	z z	0	z
	z z

lim f (z) c0			lim f (z) c0
z z0			z
lim	f (z)		lim f (z)
z z			z
0			z
lim f (z) не існує			lim f (z) не існує
z z			z
0

	Ряд Лорана
z z		0						z
z z

								c
cn (z z0 )			n					c	n
			n						n
								z	n
n 0						n	0	z
n 0						n	0
									c
n		0			n				c
n		0								n
c	(z z			)						n
c	(z z			)					z	n
										n
n m						n m
n m						n m
									c
cn (z z0 )					n				c
					n				n
									z	n
n						n			z
n						n

3.6.Ізольовані особливі точки деяких елементарних функцій

1)Знайдемо ізольовані особливі точки лінійної функції

w az b .
Нехай a 0 . Дослідимо поведінку цієї функції в околі
віддаленої точки z . Для цього обчислимо границю	lim(az
	z

нескінченно b) . З цьо-

го результату випливає, що нескінченно віддалена точка z є полюсом. Легко впевнитися у тому, цей полюс є простим (першого порядку).

Нехай a 0 . Тоді	lim b b const , тобто нескінченно віддалена точка
	z
у цьому випадку є усувною особливою точкою.

Розглянемо функцію w

. Дана функція має дві особливі точки:

z 0,

z . Оскільки

lim

, то точка

z 0

є полюсом,

причому простим

z 0

(першого порядку).

Оскільки

lim

0 ,

то

нескінченно

віддалена точка

z z

є усувною особливою точкою.

Аналогічно можна знайти ізольовані особливі точки і визначити їх ха-

рактер і для інших елементарних функцій.

3) Показникова функція w ez .

Точка z для даної функції є істотно особливою точкою, оскільки

аналітична на всій комплексній площині і не має границі при z .

Дійсно, lim e

lim e

0, а границі sin x та cos x при x не існують.

Інший спосіб доведення: головна частина ряду Лорана в околі точки

містить нескінченне число членів, тому точка z

є істотно особли-

вою для функції e

4) Тригонометричні функції

w sin z,

w cos z .

Аналогічно попередньому випадку можна показати, що точка z є

істотно особливою для функцій w sin z,

w cos z .

5) Функція w tg z .

Ізольованими особливими точками функції є точки

z			n,	n .
z	n	2	n,	n .
	n

Обчислимо границю			lim tg z .		Отже, точки	zn	є полюсами. Розглянемо
			z z
			n
функцію (z)	1	=ctg z,		для якої точки zn є нулями. Легко пересвідчитись
функцію (z)	tg z	=ctg z,		для якої точки zn є нулями. Легко пересвідчитись
	tg z
у тому, що точки		zn	є нулями першого порядку, тому вони є простими по-
люсами функції w tg z .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.201615.28 Кб51титулка отчет орг. практика ОНАПТ 2015.docx
#
11.09.2019181.76 Кб6титульный и прочее-1.doc
#
17.07.201994.21 Кб1Трансп,енергет,ремонт.doc
#
15.11.2018291.33 Кб12ТТЖП Мясо(метод.).doc
#
15.11.2018461.31 Кб20ТТЖП Рыба(метод.).doc
#
09.02.20162.63 Mб17ТФКП-15.03.14.pdf
#
09.02.2016727.04 Кб71ТХПП МЕТОДИЧКА.doc
#
09.02.20161.73 Mб80Тюнинг двигателей.doc
#
09.02.2016222.6 Кб10УЗРГ.docx
#
04.12.201881.76 Кб18УИРС.docx
#
09.02.2016350.5 Кб29Укр культура.docx