1.4.3.3 Двоичное умножение

Умножение двух двоичных чисел выполняется так же, как и умножение десятичных. Сначала получаются частичные произведения и затем их суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя.

Отличительной особенностью умножения в двоичной системе счисления является его простота, обусловленная простотой таблицы умножения. В соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в соответствующем разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения в двоичной системе сводится к операциям сдвига и сложения.

Умножение производится, начиная с младшего или старшего разряда множителя, что и определяет направление сдвига. Если сомножители имеют дробные части, то положение запятой в произведении определяется по тем же правилам, что и для десятичных чисел.

Пример 1.4.3.3 Умножение двоичных чисел и

1.4.3.4 Двоичное деление

Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перениесения запятой в делимом и делителе на одиноаковое число разрядов и дописывания необходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, причем последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.

Пример 1.4.3.4 Деление двоичных чисел

1) 18:2			2) 14:4
10010	10		1110	100
10	1001=(9)10		100	11,1=(3,5)10
00			110
00			100
001			100
000			100
10			0
10
0

Таким образом, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодоря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

2 Представление чисел в эвм, кодирование

2.1 Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЭВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЭВМ.

В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЭВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЭВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЭВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: полулогарифмическая – с плавающей запятой и естественная – с фиксированным положением запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором – только целые числа.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности при программировании. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах.

В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

Рассмотрим подробнее эти два формата.