5.2.4 Операция «импликация»

Импликациейвысказываний А и В называется новое высказывание, являющееся ложным лишь в случае, когда А – истинно, а В – ложно, истинным во всех остальных случаях.

В русском языке этой операции соответствуют союзы «если …, то …», «когда…, тогда…», «коль скоро…, то…» и т.п.

Выражение, начинающееся после союзов если, когда, коль скоро, называетсяпосылкой, а выражение, стоящее после словто, тогданазываетсязаключением.

Импликация обозначается: АВ.

Читается «если А, то В».

Пример: Пусть высказывание А = «Хорошо работаешь», а высказывание В = «Получаешь хорошую зарплату», то импликация заданных высказываний АВ = «Если хорошо работаешь, то получаешь хорошую зарплату».

Таблица 4 – Таблица истинности для логической операции Импликация

A	B	AB
1	0	0
0	1	1
1	1	1
0	0	1

Для понимания смысла импликации обратимся к приведенному примеру. Понятно, что если высказывание АВ истинно, то все, кто хорошо работают (A = 1), должны получать большую зарплату (B = 1). Если же кто-то работает хорошо (A = 1), а получает мало (B = 0), то высказывание АВ ложно.

Лодыри и бездельники (A = 0) могут получать как маленькую (B = 0), так и большую зарплату (B = 1), это не нарушает справедливость высказывания АВ. Иногда, определяя импликацию, говорят так: из истины следует истина, а из лжи — что угодно. Это значит, что при ложном высказывании A высказывание B может быть как ложно, так и истинно.

Нужно обратить внимание на разницу между высказываниями вида «если A, то B» в обычной жизни и в алгебре логики. В быту мы чаще всего имеем в виду, что существует причинно-следственная связь между A и B, то есть именно A вызывает B. Алгебра логики не устанавливает взаимосвязь явлений; истинность высказывания АВ говорит только о возможности такой связи.

5.2.5 Операция «эквиваленция»

Эквиваленциейвысказываний А и В называется новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда высказывания либо оба ложны, либо оба истинны.

В русском языке этой операции соответствуют союзы «…тогда и только тогда, когда …», «… если и только если …», словосочетания «… эквивалентно…», «… необходимо и достаточно для …».

Эквиваленция обозначается: АВ, А↔В, А≡В.

Читается: «А эквивалентно В».

Примеромэквиваленции двух высказываний является высказывание «Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и углы равны между собой».

Таблица 5 – Таблица истинности для логической операции Эквиваленция

A	B	AB
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

5.3 Формулы логики высказываний.

Логическая формула(выражение)– это формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является истина (1) или ложь (0).

Среди логических величин можно выделить:

1. Логические константы: истина – 1, ложь – 0.

2. Логические переменные: символически обозначенные простые логические высказывания:A,B,Cи т.д.

Пусть Ф1  и Ф2 -   формулы логики высказываний. Тогда формулами логики высказываний являются:

ØФ1, Ф1ÚФ2, Ф1ÙФ2, Ф1®Ф2, Ф1~Ф2

При вычислении значения логической формулы учитывается следующий приоритет операций:

1. круглые скобки ()

2. отрицание (),

3. конъюнкция (Ù),

4. дизъюнкция (),

5. импликация (®),

6. эквиваленция ().

Разберем на примерах, как вычисляется значение формул логики высказываний при заданных значениях входящих в эти формулы переменных и констант. Для этого воспользуемся универсальным для логики высказываний методом – методом истинностных таблиц.

Любую формулу можно задать с помощью таблицы истинности, которая показывает, чему равно значение логического выражения при всех возможных комбинациях значений исходных переменных. Сложные выражения удобно разбить на несколько более простых, сначала вычислить значения этих промежуточных величин, а затем — окончательный результат.

Пример 1:Вычислить значение формулыØ((XÙY®ØY)®ØX) при следующих значениях входящих в нее переменных:X= 1,Y= 0.

Решение:

Сначала определяем порядок выполнения операций:

1. ØY,

2. XÙY,

3. 2)®1),

4. ØX,

5. 3)®4),

6. Ø5).

Затем, с помощью таблиц истинности для основных логических операций определяем значение формулы на каждом шаге:

1) Ø0=1, 2) 1Ù0=0, 3) 0®1=1, 4)Ø1=0, 5) 1®0=0, 6)Ø0=1.

Ответ: 1.

Пример 2:Составить таблицу истинности для выражения: ((А→В)Ù¬В)→¬А.

Решение:

Приведем решение в таблице. Порядок действий указан в квадратных скобках.

А	В	А→В [1]	¬В [2]	[1]Ù[2] [3]	¬А [4]	[3]→[4] [5]
1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1

Пример 3:Составить таблицу истинности для выражения ((А→В)Ù(ВС))→(АС). Определить, является ли выражениелогическим законом.

Выражение, принимающее значение «истина» при любых интерпретациях входящих в него переменных, называется логическим законом(тавтологией).

Решение:

Так как в данном выражении три переменных – А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 интерпретаций значений переменных.

А	В	С	А→В [1]	ВС [2]	[1]Ù [2] [3]	АС [4]	[3]→[4] [5]
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	0	0	0	1

В последнем столбце выражение принимает значение «ложь» в шестой строке интерпретаций. Поэтому, данная формула не является логическим законом.

А вот формула из Примера 2является логическим законом, так как принимает значение «истина» на любом наборе переменных.