5 Логические основы компьютера

5.1 Основные понятия логики высказываний

Еще в 1666 году, заканчивая университет, двадцатилетний Лейбниц¹набросал работу «Искусство составления комбинаций». В этой работе были заложены основы общего метода, который позволяет свести мысль человека – любого вида и на любую тему – к совершенно точнымформальным высказываниям, другими словами, открывается возможность перевести логику (или, как называл ее Лейбниц, законы мышления) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно.

Формальная логикаотвлекается от конкретного содержания и изучает общие правила построения верных выводов из известной информации, которая считается истинной. Формальная логика изучаетвысказывания.

Высказываниемназывается повествовательное предложение, относительно которого объективно можно сказать,истиннооно илиложно(другими словами, можно оценитьлогическое значениеэтого высказывания).

Примеры высказываний:

1. «Москва – столица России» - пример истинноговысказывания.

2. «2 умножить на 2 равно 5» - пример ложноговысказывания.

В реальной жизни мы сталкиваемся и с другими высказываниями. Например, высказывания типа «О, Боже!», «Который час?», «Посмотрите на экран» и т.п. мы рассматривать не будем, так как они не являются повествовательными предложениями, и мы не можем объективно судить об их истинности или ложности.

Какая же связь между логикой и компьютерами? В формальной логике высказывание может быть истинно или ложно. Если обозначить истинное значение единицей, а ложное — нулем, то получится, что формальная логика представляет собой правила выполнения операций с нулями и единицами, то есть с двоичными кодами. Именно двоичный код используется в компьютерах для кодирования всех видов информации. Поэтому обработку информации оказалось возможным свести к выполнению логических операций. Важный шаг в этом направлении сделал английский математик Джордж Буль. Он предложил применить для исследования логических высказываний математические методы. Позже этот раздел математики получил названиеалгебра логики, илибулева алгебра.

Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор).

5.2 Основные логические операции над высказываниями

Высказывания бывают простыеисложные (составные). Высказывания, содержащие одно утверждение, называют простыми высказываниями. Они не могут быть «разложены» на более элементарные высказывания, относительно которых сохранилась бы объективная возможность оценить их истинность.

Из простых высказываний строятся сложные или составные высказывания с помощью логических связок(операций): «не», «и», «или», « если…,то...», «…тогда и только тогда, когда…» и т.д.

Примеры простых и составных высказываний:

1. «Коля Петров – студент КубГАУ».

2. «Завтра я пойду в музей илив кино».

3. «Пошла муха на базар икупила самовар».

4. «Еслив четырехугольнике две стороны равны и параллельны,тотакой четырехугольник является параллелограммом».

Первое предложение является примером простого высказывания, остальные – примерами составных высказываний.

Алгебра логики изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Кроме того, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (другими словами, 1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, так как с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании электронных схем. Такими операциями являются конъюнкция,дизъюнкцияиотрицание. Кроме того, рассмотрим еще две важные логические операции –импликациюиэквивалентность.