Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение и свойства

Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства.

Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от ∫_а ^b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В. 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х).

3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х₁,Х₂…Х_n)=M(X₁)*M(X₂)…M(Xn).

4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х₁+Х₂+Х₃+…+Х_n)=M(X₁)+M(X₂)+M(X₃)+…+M(X_n).

Дисперсия Н.С.В. и ее свойства.

Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b),то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx,или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В. 1) Д. постоянной равна нулю: D(C)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак Д., предварительно возведя его в квадрат: D (CX)=C*2D(X).

3) Д. суммы независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых: D (X₁+X₂+…+X_n) =D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n).

неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше чем :

Док-во

Т.к. события, состоящие в осуществлении неравенств |Х-М(Х)|< ε и |Х-М(Х)|≥ ε, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. Р(|Х-М(Х)|< ε)+ Р(|Х-М(Х)|≥ε)=1 отсюда интересующая нас вероятность Р(|Х-М(Х)|< ε)=1- Р(|Х-М(Х)|≥ε). Т.о. задача сводится к вычислению вероятности Р(|Х-М(Х)|≥ε). Напишем выражение дисперсии случайной величины D(X)=M[X-M(X)]²=[x₁-M(X)]²p₁+[x₂-M(X)]²p₂+…+[x_n-M(X)]²p_n

Функция распределения дискретной случайной величины

Интегральная функция распределения дискретной случайной величины.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше x.

Свойства интегральной функции:

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0..1].

2. F(x) — неубывающая функция.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b) то

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины расположены по всей числовой оси, то справедливо:

Функции распределения непрерывной случайной величины и их свойства

Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины.

Дифференциальной функцией распределения f(x) называют первую производную от интегральной функции распределения.

Свойства:

1. Дифференциальная функция неотрицательна.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах равен единице.

Закон больших чисел.

Рассмотрим независимые: одинаково распределенные случайные величины X₁, X₂, ..., X_n с конечным мат. ожиданием и дисперсией.

Рассмотрим их среднее арифметическое

Используя вспомогательное неравенство получим

получаем

При числе испытаний, стремящихся к  среднее арифметическое по вероятности сходится к математическому ожиданию.

Нормальное распределение случайной величины. Вероятность попадания в заданный интервал

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

Где —среднее квадратическое отклонение, a—математическое ожидание.

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами a и (>0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и

Интегральная функция общего нормального распределения:

Интегральная функция нормированного распределения:

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал можно найти, пользуясь функцией Лапласа.

Учитывая, что и в силу симметрии функции относительно 0, получаем

, а значит

Из чего следует, что

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Формула Бернулли

Формула, которая определяет вероятность появления события Е k-раз в n-независимых испытаниях, называется формулой Бернулли. А схема отбора из дихотомной совокупности схемой Бернулли (или схемой возвращаемого шара или схемой повторного отбора).

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.

Функция четная

Локальная теорема Лапласа имеет важное значение, однако ее практическое значение ограничено. На практике важно знать вероятность того, что событие Е произойдет число раз, заданное в определенных пределах.

Каждое из слагаемых определяется по локальной формуле Лапласа. Высокая трудоемкость задачи очевидна, поэтому рациональным способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

Функция нечетная

Равномерный закон распределения. Показательный закон распределения.

Равномерным называют распределение вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности р(х)dx=1. Для С.В., имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала (х,х+дельта) прин. [a,b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{x<X<x+дельта}=интеграл от х до х+дельта 1/b-adt=дельта/b-a. Функция распределения Х имеет вид: F(x)=0, при х<=a, x-a/b-a,при a<x<=b,1при х>b.

Н.С.В. Х, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром лямда, если плотность распределения С.В. при x>=0 равна р(х)=лямда*е в степени - лямда*х и при x<0 р(х)=0. Функция распределения С.В. Х равна F(x)=интеграл от –бесконечности до х р(t)dt=0, при x<=0,1-е в степени –лямда*х при x>0.

Задача математической статистики.

1. Указать способы сбора и группировки статистических сведений

2. разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от целей исследования

3. Создание методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических данных.

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее х, n — общее число наблюдений (объем выборки).

Ясно, что относительная частота события Х<.х равна —

Если X будет изменяться, то вообще говоря, будет изменяться и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события