52 Основные свойства определённого интеграла
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
53
Теорема о среднем:
если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a;b],
то
.
Док-во:
=по
формуле Ньютона-Лейбница, разложим по
формуле Лагранжа= F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).
54 Интеграл с переменным верхним пределом
Рассмотрим
интеграл
.
В данном интеграле нижний предел=const,
а верхний предел – переменная. Величина
этого интеграла является функцией
зависящей от верхнего предела х, обозначим
её как Ф(х) и этот интеграл назовём
Интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема
Барроу: Производная от непрерывной
функции по переменному верхнему пределу
существует и равна подынтегральной
функции в точке, равной верхнему пределу,
т.е.
.
56 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Определение:
пусть функция y=f(x)
определена на промежутке [a;)
интегрируема по любому промежутку
внутри этого интервала, т.е. существует
.
Тогда если существует предел
,
то он называется несобственным интегралом
первого рода.
Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.
