Эмпирические распределения
Для практических задач знание закона
или функции распределения – редкость.
Здесь закон распределения обычно
неизвестен, или известен с точностью
до некоторых неизвестных параметров.
В частности, невозможно рассчитать
точное значение соответствующих
вероятностей, так как нельзя определить
количество общих и благоприятных
исходов. Поэтому вводится статистическое
определение вероятности. По этому
определению вероятность равна отношению
числа испытаний, в которых событие
произошло, к общему числу произведенных
испытаний. Такая вероятность называется
статистической частотой
Связь между эмпирической функцией распределения и функцией распределения (теоретической функцией распределения) такая же, как связь между частотой события и его вероятностью.
Для построения выборочной функции распределения весь диапазон изменения случайной величины X (выборки) разбивают на ряд интервалов одинаковой ширины. Число интервалов обычно выбирают не менее 3 и не более 15. Затем определяют число значений случайной величины X, попавших в каждый интервал (абсолютная частота, частота интервалов).
Частота интервалов – число, показывающее сколько раз значения, относящиеся к каждому интервалу группировки, встречаются в выборке. Поделив эти числа на общее количество наблюдений (n), находят относительную частоту (частость) попадания случайной величины X в заданные интервалы.
По найденным относительным частотам строят гистограммы выборочных функций распределения. Гистограмма распределения частот – это графическое представление выборки, где по оси абсцисс (ОХ) отложены величины интервалов, а по оси ординат (ОУ) – величины частот, попадающих в данный классовый интервал. При увеличении до бесконечности размера выборки выборочные функции распределения превращаются в теоретические: гистограмма превращается в график плотности распределения.
Накопленная частота интервалов – это число, полученное последовательным суммированием частот в направлении от первого интервала к последнему, до того интервала включительно, для которого определяется накопленная частота.
В Excel для построения выборочных функций распределения используются специальная функция ЧАСТОТАи процедураГистограммаиз пакета анализа.
Функция ЧАСТОТА(массив_данных, двоичный_массив)вычисляет частоты появления случайной величины в интервалах значений и выводит их как массив цифр, где
массив_данных — это массив или ссылка на множество данных, для которых вычисляются частоты;
двоичный_массив — это массив интервалов, по которым группируются значения выборки.
Процедура ГистограммаизПакета анализавыводит результаты выборочного распределения в виде таблицы и графика. Параметры диалогового окнаГистограмма:
Входной диапазон- диапазон исследуемых данных (выборка);
Интервал интервалов- диапазон ячеек или набор граничных значений, определяющих выбранные интервалы. Эти значения должны быть введены в возрастающем порядке. Если диапазон интервалов не был введен, то набор интервалов, равномерно распределенных между минимальным и максимальным значениями данных, будет создан автоматически.
выходной диапазон предназначен для ввода ссылки на левую верхнюю ячейку выходного диапазона.
переключатель Интегральный процент позволяет установить режим включения в гистограмму графика интегральных процентов.
переключатель Вывод графика позволяет установить режим автоматического создания встроенной диаграммы на листе, содержащем выходной диапазон.
Пример 5. Построить эмпирическое распределение веса студентов в килограммах для следующей выборки: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59, 59, 63, 61.
Решение
В ячейку А1введите слово Наблюдения, а в диапазонА2:А21— значения веса студентов (см. рис.1).
В ячейку В1введите названия интервалов Вес, кг. В диапазонВ2:В8введите граничные значения интервалов (40, 45, 50, 55, 60, 65, 70).
Введите заголовки создаваемой таблицы: в ячейки С1— Абсолютные частоты, в ячейки D1 — Относительные частоты, в ячейкиE1— Накопленные частоты (см. рис. 1).
С помощью функции Частота заполните столбец абсолютных частот, для этого выделите блок ячеек С2:С8. В строке формул щелкнув по кнопке Вставить функцию (кнопкаfx) вызовите Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выберите категорию Статистические и функциюЧАСТОТАи нажмите кнопкуОК. Указателем мыши в рабочее поле Массив_данных введите диапазон данных наблюдений (А2:А8). В рабочее поле Двоичный_массив мышью введите диапазон интервалов (В2:В8). Затем на клавиатуре нажмите комбинацию клавишCtrl+Shift+Enter. В столбце Cдолжен появиться массив абсолютных частот (см. рис.1).
В ячейке C9найдите общее количество наблюдений. Активизируйте ячейкуС9, на панели инструментов Редактирование вкладки Главная нажмите кнопкуАвтосумма. Убедитесь, что диапазон суммирования указан правильно и нажмите клавишу Enter.
Рис. 1. Результат вычислений из примера 1
Заполните столбец относительных частот. В ячейку введите формулу для вычисления относительной частоты: =C2/$C$9. Нажмите клавишуEnter. Протягиванием (за правый нижний угол при нажатой левой кнопке мыши) скопируйте введенную формулу в диапазон и получите массив относительных частот.
Заполните столбец накопленных частот. В ячейку D2скопируйте значение относительной частоты из ячейкиE2. В ячейкуD3введите формулу:=E2+D3. Нажмите клавишу Enter. Протягиванием (за правый нижний угол при нажатой левой кнопке мыши) скопируйте введенную формулу в диапазонD3:D8. Получим массив накопленных частот.
Постройте диаграмму относительных и накопленных частот. Щелчком указателя мыши по кнопке Анализ данных вкладки Данные вызовите Пакет анализа, выберите в нем опцию Гистограмма и постройте график абсолютныхинакопленныхчастот. После редактирования диаграмма будет иметь такой вид, как на рис. 2.
Рис. 2 Диаграмма относительных и накопленныхчастот из примера 1
Выполните упражнения
Упражнение 1.
В тетради для практических работ дайте письменныйответна следующиеконтрольные вопросы:
Определения понятий случайное событие, вероятность случайного события.
Диапазон возможных значений вероятности случайного события.
Встроенные функции MS Excel, позволяющие облегчить вычисление вероятности событий. Их назначение и формат записи.
Случайные величины, виды случайных величин.
Функция НОРМРАСП. Назначение и формат записи.
Описание процедуры ГИСТОГРАММА, входящей в ПАКЕТ АНАЛИЗА MS Excel.
Упражнение 2.
Используя теоретический материал и способ оформления решения, изложенный на лекции «Элементы теории вероятностей», с помощью MicrosoftExcelрешите следующие задачи:
Задачи на вычисление вероятности событий.
В 30 экзаменационных билетах содержатся по три вопроса, которые не повторяются. Студент знает ответы на 45 вопросов. Какова вероятность того, что доставшийся ему билет состоит из подготовленных им вопросов?
На блюде 30 пирожков, из них 6 с грибами, а остальные с картошкой. С этого блюда взяли наугад 3 пирожка. Какова вероятность того, что хоть один пирожок окажется с грибами?
Молодой человек забыл номер телефона своего приятеля, но помнит из него первые 4 цифры. В телефонном номере 7 цифр. Какова вероятность, что молодой человек дозвонится до своего приятеля, если наберёт забытые 3 цифры номера случайными цифрами?