1.4. Примеры решения задач

Типичные задачи электростатики:

1.4.1. По заданному распределению зарядов в пространстве найти созданное ими поле – вычислить напряженность и потенциал поля в произвольной точке, или, наоборот, зная характер поля, найти создающие заряды;

1.4.2. По заданному расположению и форме проводников, зная потенциал каждого проводника или их общий заряд, найти распределение зарядов в проводниках и вычислить характеристики полей, создаваемые проводниками.

Решение задач о точечных зарядах в системах основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и других законов электростатики. Задачи первой (1.4.1) группы удобно решать по следующему плану:

1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле и записать для него уравнение равновесия или основное уравнение динамики материальной точки.

2. Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и характеристики поля и подставить эти выражения в исходное уравнение

3. Если при взаимодействии тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавляют закон сохранения заряда.

При расчете напряженности не следует выпускать из виду её векторный характер. Иногда удобно в точку, в которой требуется определить напряженность, мысленно поместить положительный единичный заряд и учесть, что направление вектора напряженности совпадает с направлением кулоновской силы.

1.4.3. При решении задач на движение зарядов в электрическом поле удобно пользоваться законом сохранения энергии.

При решении задач второй группы (1.4.2) часто удобно проводить “гауссову поверхность” и использовать теорему Остроградского-Гаусса, выразив ее для поля, образованного данным заряженным телом.

Задача 1.4.1 (а) Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Анализ и решение:

Запишем формулу закона Кулона для первого и второго q₃= второгоq₃= 4qсостояний:

Следовательно, чтобы сила взаимодействия осталось прежней, расстояние между зарядами надо увеличить в 2 раза.

Задача 1.4.1 (б) Положительно заряженный шарик массой 0,18 г и плотностью вещества 1800 кг/м находится во взвешенном состоянии в жидком диэлектрике плотностью 900 кг/м. В диэлектрике имеется однородное электрическое поле напряженностью 45 кВ/м, направленное вертикально вверх. Найти заряд шарика.

Анализ и решение:

m=0,18 г =0,18 * 10^-3кг

P_m = 1800 кг/м³

P_Д= 900 кг/м³

Е = 45 кв/м = 45 * 10³В/м

G = 10 м/с²

_______________________

q - ?

СХЕМА…….

На шарик действует силы: силы тяжести, Архимедова сила, Кулоновская сила, направленные соответственно:

mg– вниз,F_a,F_k– вверх по одной прямой

F_k+F_A+mg= 0

Шарик заряжен положительно, поэтому при направленном вверх поле исходя из векторного характера , сила Кулона тоже направлена вертикально вверх.

Решим уравнение равновесия в проекциях на ось ОХ.

Заряд шарика удобнее выразить в нКл

Задача 1.4.1 (в) При внесении заряженного металлического шарика, подвешенного на изолирующей нити, в однородное горизонтально направленное поле нить образовала с вертикалью угол 45⁰. На сколько уменьшиться угол отклонения нити при стекании с шарика одной десятой доли его заряда?

Анализ и решение:

На шарик действуют силы: mg– сила тяжести, Т – сила натяжения нити,F_K– кулоновская сила Т +mg+F_K= 0. Выберем оси ОХ и ОУ взаимно перпендикулярно и найдем проекции в их сил на эти оси.

Уравнение в проекциях:

После стекания с шарика одной десятой доли заряд станет 0,9 q, а угол. Аналогично предыдущему.

Поделив почленно, получим:

Задача 1.4.1 (г)Определить напряженность поля в точке, лежащей посредине между зарядами +2·10^-7Кл и -4·10^-7Кл, находящимися в скипидаре на расстоянии 10 см друг от друга.

Анализ и решение:

________________

Поместим в точку О (мысленно) положительный заряд (пробный). Так как одноименные заряды, отталкиваются, т.е. кулоновская сила была бы направлена в сторону q₂, то сила, действующая со стороны зарядаq₁и вектор напряженности Е₁направлены в ту же сторону, Вектор напряженности Е₂поля, созданного зарядомq₂, тоже будет направлен в эту же сторону.

3. Геометрическая сумма векторов напряженности в точке О : Е = Е₁ + Е_2. Та как векторы расположены по одной прямой и направлены в одну сторону, то модуль результирующего вектора Е равен арифметической сумме модулей векторов Е₁и Е₂.

Е = Е₁ + Е₂

4.

5. Расстояние rот каждого заряда до точки О равно половине расстояния а:

Подставив это значение, получим:

Задача 1.4.2 (а)Точечный зарядq=25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусаR=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностьюОпределить силуF, действующую на заряд, если его расстояниеrот оси цилиндра 10 см.

Анализ и решение:

Численное значение силы F, действующей на точечный зарядq.

F=qE.

Для цилиндра бесконечной длины в вакууме

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность.

Для этого выделим элемент цилиндра длиной и выразим находящийся на нем заряддвумя способами:и

Приравнивая правые части этих равенств, получим

Сократим на 1: и подставим это значение в формулу напряженности.

Подставим это выражение в формулу силы:

Подставим числовые значения:

Проверим наименования единиц:

Ответ: F=565мкН.

Задача 1.4.2 (б)Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностьюОпределить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а₁ = 0,5 см и а₂ = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Анализ и решение:

Выражение напряженности через градиент потенциала - градиент. Для поля с осевой симметрией это соотношение можно записать в виде:

или

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, находящихся на расстояниях r₁иr₂ от оси цилиндраr₂

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения Е можно воспользоваться формулой

Подставив это выражение в формулу разности потенциалов получим:

Подставим ив СИ:

Так как r₁иr₂представлены в виде отношения, их можно выражать в любых единицах; в СИr₁=R+a₁= 1,5·10^-2м,r₂=R+a₂= 3·10^-2м;

Так как

Ответ:

Задача 1.4.2 (в)Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный зарядq= 0,66 нКл. Заряд перемещается по линии напряженности поля на расстояниепри этом совершается работа А=0,5 МДж. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

Анализ и решение:

Электрическое поле заряженной бесконечной плоскости имеет напряженность.

Откуда

Определим Е, исходя из формулы работы

Подставив последнее выражение в формулу для определения :

Подставив числовые значения:

Ответ:

Задача 1.4.3 (а)Электрон летит на отрицательный ион. Заряд иона равен трем зарядам электрона. В начальный момент электрон находится на очень большом расстоянии от иона и имеет скорость, равную 10⁵м/с. На какое наименьшее расстояние электрон может приблизиться к иону?

Анализ и решение:

На основании закона сохранения и превращения энергии, работа, совершаемая электроном при приближении к иону, равна изменению его кинетической энергии

Задача 1.4.3 (б)Начертить графики изменения напряженности и изменения потенциала электрического поля положительно заряженного металлического шарика радиусомrот его центра до любой точки поля (А, В и т.д) в радиальном направлении в координатахr, Е иr,.

Анализ и решение:

Анализ и решение:

На рис.а) дан график изменения напряженности электрического поля заряженного шара. На участке ОА напряженность Е=0, т.к. внутри шара отсутствует электрическое поле, в точке А – наибольшая напряженность поля на поверхности шара, на участке АВ – уменьшение напряженности при удалении от шара по закону На рис.б) дан график изменения потенциала электрического поля положительно заряженного шара. На участке ОА – наибольший потенциал внутри и на поверхности шара, т.к. проводник является эквипотенциальным, на участке АВ – уменьшение потенциала поля при удалении от шара в радиальном направлении по закону

5. Задачи для самостоятельного решения

1.5.1. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянииr₁= 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянииr₂нужно поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?

1.5.2 Найти напряженность Е электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q₁= 8 нКл иq₂= -6 нКл. Расстояние между зарядами

1.5.3. Два точечных заряда q₁ = 7,5 нКл иq₂= -14,7 нКл расположены на расстоянииr=5 см. Найти напряженность Е электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а=3 см от положительного заряда иb= 4 см от отрицательного заряда.

1.5.4. На рис. АА – заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда и В – одноименнозаряженный шарик с массой m= 1 г и зарядомq= 1нКл. Какой уголс плотностью АА образует нить, на которой висит шарик?

1.5.5. На рис. АА – заряженная бесконечная плоскость и В – одноименно заряженный шарик с массой m= 0,4 г и зарядомq= 667 пКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, Т = 0,49 мН. Найти поверхностную плотность зарядана плоскости АА.

1.5.6. С какой силой F₁электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нитии поверхностная плотность заряда на плоскости.

1.5.7. С какой силой F₁на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда, находящиеся на расстоянииr₁= 2 см друг от друга? Какую работу А₁на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстоянияr₂= 1 см?

1.5.8. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии r= 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях. Найти модуль и направление напряженности Е результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити.

1.5.9. До какого расстояния rмогут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью

1.5.10. Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q= 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянииr= 1 см от поверхности шара радиусомR= 1 см с поверхностной плотностью заряда?

1.5.11. Найти скорость электрона, прошедшего разность потенциаловUравную: 1, 5, 10, 100, 1000 В.

1.5.12. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами U= 3 кВ; расстояние между пластинамиd= 5 мм. Найти силуF, действующую на электрон, ускорение а электрона, скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плотность зарядана пластинах.