Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной

§1. Приращения и производные

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.

Приращением аргумента х в точке называется разность .

Приращением функции в точкеназывается разность

.

Геометрически х и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точкив точку(рис. 1).

Следующее определение непрерывности функции в точке эквивалентно предыдущему.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точкии, то она называетсянепрерывной в точке .

Определение. Если существует предел

, (1)

то это число называется производной функции в точке.

Эта производная обозначается также одним из следующих символов:

.

Если функция имеет конечную производную в точке, то она называетсядифференцируемой в этой точке (т. е. предел (1) существует).

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

§2. Механический и геометрический смыслы производной

2.1. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь S(t). Тогда за промежуток времени от доона проходит путь, и средняя скорость точки на промежуткеравна. Мгновенная скоростьv точки в момент равна пределупри: . Итак, мгновенная скорость точки в моментравна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и естьмеханический смысл производной.

2.2. Проведём прямую через две точки и, лежащие на графике функции. Эта прямая называетсясекущей к графику функции (рис. 2). Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона к оси Оx равен

. (2)

Определение. Касательной к графику функции в точкеназывается прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точкуAпри.

Касательная в точке- это прямая, проходящая через, угловой коэффициент которой равен.

Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графикув точке (геометрический смысл производной).

Уравнение этой касательной имеет вид:

§3. Правила дифференцирования

Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции идифференцируемы в точке х, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1. 2.3.. (3).

Теорема 2. (правило дифференцирования сложной функции). Пусть функция дифференцируема в точке,, функциядифференцируема в точке, тогда сложная функциядифференцируема ви её производная равна

.

Таблица производных основных элементарных функций.

Здесь с, а – постоянные, а>0,

§4. Дифференциал функции

Определение. Если приращение функции в точкеможно представить в виде, гдеa - число, а - б.м. при, то величина называется дифференциалом функции в точке(главной частью приращения).

Теорема о дифференциале. Для того чтобы функция имела дифференциал в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная, при этом. (т.е.)(см. рис. 15).

Формула для приближенного вычисления значения функции в точке имеет вид:

.

Перечислим основные свойства дифференциала. Пусть функции идифференцируемы, тогда

1. , где с – число.

2. .

3. , если .