- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
Глава I. Линейная алгебра
§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов.
Числа стоящие в матрице называются ее элементами и обозначаются переменной (буквой) с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной, а это число строк (столбцов) называется ее порядком. Каждой квадратной матрице по определённому правилу сопоставляется число, которое называется определителем этой матрицы.
.
Определителем матрицы 1-го порядка называется элемент этой матрицы.
2) .
3).
Это правило называется правилом треугольников (Саррюса).
+ +
Транспонированной матрицей для матрицы называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.
Свойства определителей:
1) Определители квадратной матрицы и транспонированной матрицысовпадают, т.е..
2) При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы, её определитель меняет свой знак на противоположный.
3) Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.
4) Если все элементы одной строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число.
5) Если квадратная матрица содержит нулевую строку (столбец), то её определитель равен 0.
6) Если одна из строк (столбцов) определителя записывается в виде суммы двух строк (столбцов), то определитель записывается в виде суммы двух определителей, у которых на месте этой строки (столбца) стоят соответственно первые и вторые слагаемые. Остальные соответствующие строки (столбцы) всех трёх определителей равны.
7) Если к одной строке (столбцу) матрицы прибавить другую её строку (столбец), умноженную на число , то определитель матрицы при этом не изменится.
§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
Минором элемента матрицыназывается матрица, полученная изпутём вычёркивания строки и столбца, проходящих через элемент(обозначение: ). Алгебраическим дополнением элемента называется число. Здесь– определитель минора элемента .
Теорема о разложении определителя. Определитель матрицы - го порядка равен сумме произведений элементов какой‑либо её выбранной строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.. Здесь – номер выбранной строки,.
Определение. Определителем матрицы -го порядка называется число, сопоставляемое этой матрице с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.
Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы называется единичной матрицей:
E=.
Определитель единичной матрицы равен 1, т.е. E=1.
§3. Операции над матрицами
Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.
Определение. Произведением матрицы размера на число , называется матрица размера, каждый элементкоторой равен.
Определение. Суммой матриц иодинакового размера называется матрицатого же размера каждый элемент которой равен.
Определение. Произведением строки A из элементов на столбец B из элементов называется число
Определение. Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера, каждый элементкоторой равен произведению–ой строки матрицы A на–ый столбец матрицы, т. е.
.
Для любой квадратной матрицы A верно равенство AE=EA=A, то есть единичная матрица играет роль единицы при умножении матриц.
Кроме того, для квадратных матриц верно равенство AB=AB.
Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A-1, что выполняется равенство AA-1=A-1A=E.
Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицыA.
Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле
.