§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)

6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Определение. Уравнение вида

, (1)

где ,;,называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Функция называетсяправой частью уравнения (1), а функции -коэффициентами ЛДУ (1).

Если , то уравнение (1) называетсяоднородным ЛДУ n-го порядка. Уравнение (1) с ненулевой правой частью называют неоднородным ЛДУ.

Рассмотрим задачу Коши для (1), с начальными условиями (НУ)

(2)

Теорема Пикара – Пеано – Коши (существования и единственности решения). Если дифференциального уравнения (1) коэффициенты, и функцияf(x) непрерывны в интервале (a,b) и , то линейное дифференциальное уравнение (1) имеет единственное решение на интервале, удовлетворяющее любым начальным условиям (2).

6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)

Рассмотрим следующие свойства однородного ЛДУ

, (3)

1) Если является решением ОЛДУ (3),С – число, то функция также является решением этого уравнения.

2) Если иявляются решениями ОЛДУ (3), то их сумма также является решением уравнения (3).

3) Если функции являются решениями ОЛДУ (3), то их линейная комбинация

также является решением этого уравнения.

6.3. Линейная независимость функций

Определение. Функции определенные на интерваленазываются линейно независимыми на этом интервале, если соотношение

(4)

выполняется только при всех (т.е. если это соотношение не выполняется для отличных от нуля чисел). Системаn функций называется линейно зависимой на , если существуют числа, не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (4).

В частности, две функции являются линейно независимыми на интервалетолько в том случае, когда их отношение- непостоянная функция на этом промежутке .

6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

, (5)

Если n частных решений однородного ЛДУ (5) линейно независимы, то эта системаназываетсяфундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (5).

Теорема. Если - фундаментальная система решений уравнения (5), то функция

(6)

является общим решением этого линейного дифференциального уравнения.

6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное ЛДУ второго порядка

, (7)

где p, q - постоянные. Будем искать его решение в виде

, (8)

где - пока неизвестное число. Подставив эту функцию в уравнение (7) получим квадратное уравнение

, (9)

которое называется характеристическим уравнением для ЛДУ (7).

Теорема. Пусть и- корни характеристического уравнения (9). Тогда возможны три случая.

1) Если числа и- действительные и различные, то общее решение ЛДУ(7) есть .

2) Если , то.

3) Если , то.