5.2.2 Электрическая емкость

Электрической емкостью называется цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Электрическая емкость:

а – принципиальная схема; б – структурная схема

Выходной координатой такого объекта может быть выбран заряд q на обкладках конденсатора, а входной – напряжение на входе цепи U вх . Дифференциальное уравнение может быть получено на основе закона Кирхгофа: (4)

Таким образом, математическим описанием электрической емкости является обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

5.2.3 Химический реактор полного перемешивания

Пусть в реакторе протекает химическая реакция типа А → B (рис. 3.4). При выводе уравнений приняты следующие допущения:

1) в реакторе осуществляется идеальное перемешивание реакционной смеси, т.е. концентрация во всех точках реактора одинакова;

2) теплоемкость реакционной смеси постоянна и равна теплоемкости исходного реагента;

3) реакция протекает в изотермических условиях, т.е. температура в реакторе постоянна.

Рис. 3.4 Химический реактор: а – принципиальная схема; б – структурная схема

При этих допущениях реактор может рассматриваться как объект с сосредоточенными параметрами, материальный баланс которого имеет следующий вид:

(5)

где V – объем реактора; С_А – концентрация вещества A; t – время; q – объемный расход реагента А; С_{А0 -} входная концентрация вещества; А, K – константа скорости реакции.

Таким образом, описание химического реактора идеального перемешивания, в котором протекает реакция типа А → В, осуществляется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Как видно из этих трех примеров, динамические свойства различных по физической природе объек-

тов обладают некоторыми общими чертами, благодаря чему все рассмотренные объекты описываются однотипными уравнениями – обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

5.3 Определение линейной стационарной системы.

Принцип суперпозиции. В теории управления к линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной системы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любих x_i(t). Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений: (6)

(7)

Важно отметить, что линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в статике, но и в динамике. В то же время статическая характеристика, описываемая уравнением прямой у = а х + b , не отвечает принципу суперпозиции. Покажем это на примере функции у = 2 х + 3. Для этого проведем эксперимент, который можно проиллюстрировать постановкой не менее трех опытов.

1 опыт: на вход объекта подадим сигнал х 1 = 2 и определим выходную координату под действием этого сигнала y 1 = 7 (рис. 3.5, а).

2 опыт: на вход объекта подадим другой сигнал x 2 = 3, и определим соответствующее ему изменение выходной координаты y 2 = 9 (рис. 3.5, б).

3 опыт: на вход объекта подается сигнал, равный сумме в первых двух опытах, x 3 = 5 и определяется выходной сигнал y 3 = 13 (рис. 3.5, в).

Вследствие того, что y 3 ≠ y 1 + y 2 (13 ≠ 16), можно утверждать, что для данной функции принцип суперпозиции не выполняется. Для устранения данного типа нелинейности следует перенести начало координат таким образом, чтобы нулевому входу соответствовал нулевой выход. Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е. производится линеаризация нелинейных зависимостей.

Рис. 3.5 Иллюстрация эксперимента по проверке объекта

Рис. 5.6 Линеаризация нелинейной статической характеристики

Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения. Пусть статическая характеристика описывается нелинейной n раз дифференцируемой, где n – любое натуральное число, функцией у = f (x), которую необходимо линеаризовать в окрестности точки (x₀,y₀) (рис. 5.6). Если в пределах максимально возможных отклонений у и x от x₀ и у₀ f (x) мало отличается от линейной функции, то можно f (x) заменить ее приближением .функция f (х) находится из ряда Тейлора:

Переходя к новой системе координат, , ; получим линеаризованное уравнение объекта: