1.6 Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Большим недостатком двух рассмотренных методов (формулы Крамера и матричный метод) является их большая трудоемкость, связанная с громоздкими вычислениями при большом значении . Возможность применения этих методов ограничена также размерностью системы уравненийи требованием невырожденности матрицы системы.

Обойти эти сложности помогает универсальный метод решения СЛАУ - метод Гаусса, который еще называют методом последовательного исключения неизвестных.

Условно в методе Гаусса можно выделить 2 этапа: «прямой» и «обратный» ходы.

Прямой ход предполагает последовательное исключение неизвестных из уравнений системы, начиная с 1-го (движение сверху вниз).

Обратный ход – последовательное нахождение значений неизвестных, начиная с последнего уравнения системы (движение снизу вверх).

В основу метода Гаусса положены свойства равносильных (эквивалентных) систем (т.е. имеющих одни и те же решения).

Примем без доказательства тот факт, что система переходит в ей равносильную в результате элементарных преобразований, к которым относятся:

- перестановка уравнений местами;

- умножение всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

Таким образом, суть Метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛАУ приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой затем последовательно находятся значения переменных, начиная с последнего уравнения.

Замечание. Преобразования по схеме Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы:

В этом случае элементарные преобразования производятся над строками. Тогда, прямой ход будет состоять в получении нулей под главной диагональю. Затем по расширенной матрице восстанавливают систему и обратным ходом последовательно находят значения переменных.

Алгоритм Метода Гаусса цикличен, т.е. одна и та же операция будет по очереди повторяться для каждой неизвестной. Условно его можно выразить фразой: «диагональный элемент не ноль, под ним нули».

Рассмотрим СЛАУ (случай ):

(6.1)

Пусть (еслито перестановкой уравнений местами добьемся, чтобы выполнялось условие. Это приведет к равносильной системе уравнений). Разделим 1-е уравнение системы на. Оно примет вид:

где

ШАГ 1. Умножая это уравнение последовательно на и прибавляя полученные уравнения в том же порядке ко 2-му, 3-му … -му уравнениям, исключим переменную из всех уравнений системы, начиная со второго.

Получим:

(6.2)

ШАГ 2. Пусть (если это не так, то перестановкой уравнений или неизвестных с изменением их номеров добьемся, чтобы выполнялось условие).

Разделим второе уравнение системы на . Это уравнение примет вид

где

Умножая полученное уравнение последовательно на и прибавляя полученные уравнения в том же порядке к третьему … -му уравнению системы, исключим переменнуюиз всех уравнений системы, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных после-го шага получим систему вида

(6.3)

Число нуль в последних уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если в полученной системе уравнений хотя бы одно из чиселне равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (6.1) несовместна.

Для любой совместной системы (6.1) числа в системе (6.3) равны нулю. В этом случае последниеуравнений являются тождествами и их можно исключить при решении системы (6.3). После исключения из системы (6.3) последнихуравнений возможны два случая: 1) число уравнений, оставшихся в системе (6.3), равно числу неизвестных, т.е., тогда система (6.3) имеет треугольный вид и решение системы (6.1) единственное; 2)(тогда система (6.3) имеет ступенчатый вид и система (6.1) неопределенная, имеет бесчисленное множество решений).

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы

Разделим первую строку матрицы на 2.

ШАГ 1.

ШАГ 2.

_{Разделим вторую строку полученной матрицы} на

ШАГ 3.

Разделим третью строку на

_{Прямой ход на этом окончен.}

Последней матрице соответствует система уравнений:

Обратный ход: из третьего уравнения системы

из второго уравнения системы

из первого уравнения системы

Ответ:

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы

Уравнение, соответствующее третьей строке полученной матрицы, представляет равенство . Следовательно, система несовместна.

Ответ: решений нет.

Замечания:

1. Кроме решения СЛАУ методом Гаусса можно вычислять определители. После выполнения прямого хода определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Метод Гаусса помогает также находить обратную матрицу через присоединенную: к исходной матрицеприписывается рядом единичная; затем проводятся элементарные преобразования, приводящие матрицук виду единичной, при этом единичная матрица приводится к обратной

3. При решении СЛАУ методом Гаусса одновременно осуществляется исследование системы.