1.4.2 Алгебраические операции над матрицами

1. Сложение матриц.

Матрицы одинаковой размерности можно почленно складывать.

Суммой двух матриц иодинаковой размерностиназывается матрица той же размерности, элементы которой, где .

Например,

Тогда .

Свойства сложения матриц:

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. Если , то

2) Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Если , то

В приведенном выше примере

.

3) Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называют матрицу, элементы которой, где.

Например, ,

Найдем матрицу

.

Свойства умножения матриц на число:

1.

2.

3.

4) Умножение матриц.

Умножение двух матриц определено, если число (количество) столбцов первой матрицыравно числу строк второй матрицы. Такие матрицы называютсясоответственными.

Пусть размерность матрицы а матрицы.

Произведением двух матриц иназывается матрица, элементыкоторой определяются по формуле: , т.е. каждый элемент матрицыесть сумма произведений элементов-й строки матрицына-й столбец матрицы.

При этом размерность матрицыбудет равна.

Например, пусть

Размерности матриц Число столбцов матрицы , число строк матрицы . Найдем произведение

Свойства произведения матриц:

1.

2.

3.

4.

5. Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно. Не всегда. Эти произведения могут быть разными матрицами (и с разными элементами, и разной размерности), а могут после перестановки и вовсе не существовать. Например в рассмотренном примере матрицунельзя умножить на матрицу.

6.

7.

5. Возведение матрицы в степень.

Эта операция определяется только для квадратных матриц и только для целых степеней .

Целой положительной степенью квадратной матрицыназывается произведениематриц, равных.

Принято считать.

6. Обращение матрицы.

Для матриц операция деления не определена, но можно определить аналог типа – нахождениеобратной к данной.

Матрица называется обратной к матрице, если .

Обратная матрица обозначается, т.е..

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, если ее определитель.

Действительно, т.к., то_.

С другой стороны,

Следовательно,

Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную. Ее элементы находят по формуле_.

Вычисление обратной матрицы и есть операция обращения матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы.

Если, то– вырожденная матрица, обратная матрицане существует и вычисление нужно прекратить.

Если, то обратная матрица существует. Перейти к п.2.

2. Найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы и составить матрицу из алгебраических дополнений в порядке следования элементов матрицы.

3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений.

4. Полученную матрицу умножить на множитель (или иначе: каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель матрицы). В результате получим обратную матрицу.

5. Выполнить проверку правильности вычислений, перемножив матрицыи в прямом и обратном порядке. Получение в результате единичной матрицы служит критерием правильности вычислений, т.е. _.

Пример. Найти матрицу, обратную данной

1. 

- обратная матрица существует.

2. 

Составим матрицу из :

3. Транспонируем матрицу:

4. , т.е.

5. Проверку предлагается выполнить самостоятельно.

5. Матричный способ решения СЛАУ

Введенные нами операции над матрицами позволяют:

1. предложить матричную форму записи СЛАУ.

Для этого матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений с неизвестными

, назовем основной матрицей системы.

Ее размерность .

Основная матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Она имеет вид:

, ее размерность .

Обозначим матрицу – столбец, элементы которой – неизвестные системы, через (ее размерность), а матрицу – столбец, элементы которой – свободные члены системы, (ее размерность):

Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

2. получить еще один способ решения СЛАУ для случая с невырожденной матрицей системы, который называетсяматричным способом. В случае существует обратная матрица. Запишем систему в матричной форме:

Умножим слева обе части равенства на . Получим:

.

На основании свойств произведения матриц и определения обратной матрицы преобразуем левую часть равенства:

где – матрица–столбец из неизвестных системы. Тогда решение системы уравнений имеет вид:

Пример. Решить систему уравнений матричным способом:

Запишем для данной системы уравнений матрицы:

Для нахождения обратной матрицы найдем основной определитель системыи алгебраические дополнения каждого элемента матрицы:

Составим матрицу из алгебраических дополнений

Транспонируем ее.

Найдем

Ответ: