Тематический план

2. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными

1. Понятие определителя 2-го порядка

Изучение систем линейных уравнений было начато Лейбницем около 1678 г.; он использовал индексы в случае системы 3-х уравнений с 2-мя неизвестными. Лейбниц исключал обе неизвестные и в результате они определялись с помощью выражения специального вида, обращение в ноль которого было условием разрешимости системы. Такое выражение Лейбниц предложил называть определителем. Позднее, в 1748 г. Маклорен получил явные формулы для решения систем в случаях и. Последуем рассуждениям великих ученых.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решением этой системы уравнений является пара чисел , обращающая оба уравнения системы в тождество.

Для нахождения решения применим метод алгебраического сложения с последующим исключением неизвестных. Для получения (исключения) из данной системы уравнений умножим первое уравнение системы на, а второе на, получим:

.

Вычтем почленно из 1-го уравнения второе:

,

т.е. .

Полагая выражение , получаем:

.

Аналогично, исключая из системы уравнений (умножая 1-е уравнение системы на, а 2-е наи вычитая из второго первое), получим:

.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что полученные значения и действительно удовлетворяют исходной системе, следовательно, являются решением.

Определение. Выражение_, являющееся знаменателем дробей, определяющих значения неизвестных и, называетсяопределителем (детерминантом) 2-го порядка, обозначается символом или(det) и символически записывается в виде квадратной таблицы из 4-х чисел, называемых элементами определителя: .

Если элементы являются коэффициентами при неизвестных в рассматриваемой системе, называетсяосновным определителем системы.

Определитель 2-го порядка имеет 2 строки и 2 столбца, которые называются рядами, следовательно, порядок определителя равен количеству его строк или столбцов. Говорят, элементы с одинаковыми индексами лежат на главной диагонали определителя, а с разными – напобочной (вспомогательной).

Таким образом, определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях. Это практическое правило вычисления определителя 2-го порядка.

Примеры вычисления определителей 2-го порядка:

1.2.2 Формулы Крамера решения СЛАУ

Приняв введенное нами понятие определителя 2-го порядка, замечаем, что числители в формулах для нахождения итакже могут быть представлены в виде определителей 2-го порядка, которые мы назовемвспомогательными и обозначими:

,.

Легко заметить, что вспомогательный определитель получается из основного определителя путем замены столбца коэффициентов при неизвестной столбцом правых частей. Аналогично составляется

Тогда формулы для нахождения решения исходной системы линейных уравнений принимают следующий вид:

Впервые в таком виде они были записаны Крамером в 1754 г., поэтому носят название формул Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание: часто в случае СЛАУ небольших размеров неизвестные обозначают

При решении подобных систем могут быть следующие случаи.

1) . Тогда система совместна и имеет единственное решение.

Например,

Проверка:

2) Системасовместна и имеет бесчисленное множество решений. Фактически система сводится к одному уравнению (второе – следствие первого), из которого неизвестные однозначно не определяются.

Например, Здесь

3) ноили. Тогда системанесовместна.

Например,

Система несовместна, т.е. не имеет решений.

1.2.3 Свойства определителя

Приведем основные свойства определителя 2-го порядка.

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами. Эта операция называется транспонированием определителя и фактически означает симметрию относительно главной диагонали.

2) При перестановке двух соседних параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

4) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

5) Если какие-либо два соседних ряда определителя пропорциональны, то он равен нулю.

6) Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

7) Если каждый элемент какого-то ряда представляет собой сумму двух (конечного числа) слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух (конечного числа) определителей.

8) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

2. Решение системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными

1.3.1 Понятие определителя 3-го порядка

Пусть мы имеем систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными :

.

Аналогично СЛАУ с двумя неизвестными, ее решение может быть найдено в ходе последовательного исключения неизвестных (в силу громоздкости вычислений мы их не приводим).

Для полученных выражений может быть введено понятие определителя 3-го порядка, для обозначения которого также используется символ а элементы записываются в 3 строки и 3 столбца:

Тогда, основной и вспомогательные определители системы будут иметь вид:

Считая _, находим по формулам Крамера

.

Заметим:

1) остается условием совместности и определенности СЛАУ, апоказателем неопределенности либо несовместности системы в зависимости от значений

2) Все свойства определителей 2-го порядка относятся и к определителям 3-го порядка.

Например,

3) Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений с большим числом неизвестных, следовательно, можно ввести понятие определителя произвольного (-го) порядка.

1.3.2 Понятие определителя произвольного порядка

Аналогично определителям 2-го и 3-го порядка можно составить определитель -го порядка (= 1, 2, 3, 4, 5…) и формально записать его в виде:

Анализируя формулы для вычисления, можно заметить, что определитель 2-го порядка состоит из 2-х слагаемых, каждое из которых содержит по 2 сомножителя, для определителя 3-го порядка эти цифры составляют 6 и 3 соответственно.

Рассуждая по индукции, получаем, что число сомножителей, входящих в каждое произведение, равно порядку определителя, а количество самих слагаемых равно !, при этом в каждом конкретном произведении сомножители взяты по одному из каждой строки и столбца, причем каждое произведение снабжено знаком «+» или «-» по некоторому правилу.

Для определителя произвольного порядка остаются верными свойства 1 - 8, выведенные нами для определителя 2-го порядка.

4) Получим из определения детерминанта 3-го порядка правила его вычисления.

1.3.3 Методы вычисления определителя 3-го порядка

1.3.3.1 Правило треугольника

При решении СЛАУ в результате последовательного исключения неизвестных в знаменателях формул дляполучается выражение вида:

Это выражение мы назвали определителем 3-го порядка и обозначили

Заметим, что оно состоит из 6-ти слагаемых, каждое из которых содержит 3 сомножителя, взятых с определенным знаком, причем эти сомножители берутся из разных строк и столбцов.

Первые три слагаемые (со знаком «+») составлены как произведение элементов главной диагонали и 2 произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, построенных так, что одна из сторон каждого из них параллельна главной диагонали. Вторые 3 слагаемые (со знаком «-») построены аналогично для вспомогательной диагонали определителя. Эта формула называется Правилом треугольника.

Например, вычислим, пользуясь правилом треугольника, определитель:

1.3.3.2 Правило Сарруса

Фактически оно представляет собой модификацию правила треугольника и состоит в том, что исходный определитель «расширяется» путем приписывания к нему справа 1-го и 2-го столбцов (либо снизу 1-й и 2-й строк). Далее, 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении главной диагонали, начиная от элементов верхней строки определителя, выписываются со знаком «+», а 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении побочной диагонали, начиная от элементов нижней строки определителя, выписываются со знаком «-».

Например,

1.3.3.3 Правило Лапласа (Правило разложения определителя по элементам ряда)

Заметим, что в выражении определителя 4-го порядка выписывается 4!=24 слагаемых, состоящих из 4-х сомножителей каждое, что, естественно, затрудняет процесс вычисления. Следовательно, возникает необходимость в получении некой универсальной формулы вычисления определителя -го порядка. Рассмотрим ее вывод на примере определителя 3-го порядка. Но для начала нам небходимо ввести некоторые дополнительные понятия.

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель, который получается из данного вычеркиванием-й строки и –го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента обозначается .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор, взятый со своим или противоположным знаком согласно правилу: если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если же нечетное, то с противоположным. Обозначается алгебраическое дополнение :

Например, для

Обратимся вновь к формуле, выражающей определитель 3-го порядка:

Произведем группировку по элементам первой строки, вынося затем за скобки множители:

Выражения, стоящие в скобках представляют собой миноры элементов-сомножителей:

Чтобы добиться равенства знаков, заметим:

В итоге получим: или словами:

«Определитель равен сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения».

Такое представление определителя называется его разложением по элементам первой строки.

Аналогично можно было группировать слагаемые по элементам любой другой строки или столбца. Т.е., для определителя 3-го порядка существует 6 способов разложений (у него 6 рядов) по элементам ряда.

_,,

_,,

Например, вычислим определитель:.

_{Раскрываем его по элементам первой строки .}

Тут

Тогда

Для определителя произвольного порядка данное правило было обобщено Лапласом и называется теперь правилом Лапласа или правилом разложения определителя по элементам ряда. Его формулировка:

«Определитель равен сумме попарных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения».

По данному правилу следует сделать несколько замечаний:

1. Определитель -го порядка выражается черезопределителей (-1)-го порядка. В итоге вычисление определителя-го порядка может быть сведено к вычислению определителей 2-го порядка.

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

_Так как в предыдущем примере

3. Вычисление определителя по правилу Лапласа значительно упрощается, если разложение производится по ряду, содержащему наибольшее количество нулей.

Например, вразложение выгодно вести либо по третьему столбцу, либо по третьей строке.

4. Если определитель вообще не содержит нулей, то их можно получить, используя свойства определителей, в частности, свойство 8. Удобнее всего преобразования производить в том ряду, который содержит единицу. При этом важно помнить, что, получая нули в строке, действия следует выполнять со столбцами, и наоборот.

Вычислим

Так как первый столбец уже содержит один нуль и в нем есть минус единица, получим на месте тройки тоже нуль. Для этого каждый элемент третьей строки умножим на три и прибавим к соответствующим элементам первой строки. При этом меняется первая строка («к» которой прибавляем), а третья остается без изменений.

Получаем: Далее раскладываем определитель по элементам первого столбца:

Теперь, когда нами получены правила вычисления определителей, рассмотрим примеры решения СЛАУметодом Крамера.

Например, решим систему_{, для которой}

Теперь определяем , путем замены первого столбца столбцом свободных членов

Вычисляем

Находим

После этого вычисляем

Проверка