2. Уравнение состояния идеальных газов. Газовая постоянная.

Как было отмечено ранее, в термодинамических системах в качестве рабочего тела часто рассматривается идеальный газ, являющийся теоретической моделью газа, в которой не учитываются взаимодействия частиц газа - молекул, представляющих собой материальные точки, не имеющие объема и сил межмолекулярного сцепления.

Основные параметры состояния (абсолютное давление, удельный объем и абсолютная температура) однородного тела зависят один от другого и взаимно связаны уравнением состояния F(P, v, T) = 0. Из молекулярно-кинетической теории следует, что абсолютное давление газа численно равно средней кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единице объема:

(2.4)

где n - число молекул в удельном объеме; v - удельный объем газа; m - масса молекулы;  - средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул; - средняя кинетическая энергия молекулы.

Молекулярно-кинетическая теория газов устанавливает прямо пропорциональную зависимость между средней кинетической энергией молекулы и абсолютной температурой:

(2.5)

где Т - абсолютная температура; В - коэффициент пропорциональности.

С учетом (2.2) уравнение (2.1) можно представить в виде

(2.6)

Если уравнение (2.3) отнести к двум состояниям газа, то для каждого из них получаем:

Почленное деление этих уравнений приводит к следующему соотношению:

(2.7)

Это соотношение между параметрами состояния может быть получено из совместного рассмотрения законов Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, поэтому часто это соотношение называют объединенным законом Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

Выражение (2.8) показывает, что произведение абсолютного давления идеального газа и удельного объема, деленное на абсолютную температуру, для любого равновесного состояния есть величина постоянная:

. (2.8)

Постоянную величину обозначают R и называют удельной газовой постоянной:

или (2.9)

Уравнение (2.9) называют термическим уравнением состояния идеальных газов или характеристическим уравнением, однозначно связывающим между собой параметры P, v, T. Это уравнение было выведено французским физиком Клапейроном в 1834 году и поэтому названо его именем.

Для произвольного количества газа массой m [кг] уравнение состояния имеет вид:

Pv = mRT, (2.10)

где P - абсолютное давление газа в Па; v - объем рассматриваемого количества газа в м³;

m - масса газа в кг; T - абсолютная температура газа в К.

Выясним физический смысл удельной газовой постоянной. Запишем уравнение Клапейрона для двух состояний газа при одном и том же давлении:

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

P(V₂-V₁) = mR(T₂-T₁), (2.11)

откуда

. (2.12)

Числитель правой части представляет собой работу газа в процессе при постоянном давлении. Если разность температур равна 1К, а масса газа равна 1кг, то удельная газовая постоянная есть работа в Дж 1кг газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1К.

Удельная газовая постоянная имеет следующую размерность:

Удельная газовая постоянная представляет собой физическую постоянную, которая для каждого газа имеет вполне определенное значение, зависящее от природы газа и не зависящее от его состояния.

Уравнение Клапейрона в рассмотренном виде может применяться не только для идеальных газов, но и для реальных газов, имеющих низкое давление и высокую температуру.

Если  - молярная масса газа, то умножив на  обе части уравнения (2.9), получим уравнение Клапейрона-Менделеева:

Pv = RT; Pv_ = R_T, (2.13)

где v_ = v - молярный объем рабочего тела [м³/моль] при нормальных физических условиях (давлении 101325 Па и температуре 273,15К), объем 1 кмоль газа равен 22,4143 м³/кмоль;

R_ = R - универсальная газовая постоянная, равная

Дж/(кмольК)

Уравнение (2.13) впервые было предложено Менделеевым в 1874 году и является наиболее общим для идеальных газов.