2.3.2 Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором в качестве неизвестных принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, составляемых для схемы по второму закону Кирхгофа. Преимуществом этого метода, по сравнению с методом на основе законов Кирхгофа, является меньшая вычислительная работа, так как в нем меньше уравнений.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 2.2, содержащей два независимых контура. Положим, что в левом контуре го часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правой (также по часовой) - контурный ток I₂₂. Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что в смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток I₁₁-I₂₂. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

(R₁+R₂)I₁₁+R₅(I₁₁-I₂₂)=E₁+E₅ (а)

или

(R₁+R₂+R₅)I₁₁+(-R₅)I₂₂=E₁+E₅ (б)

Для второго контура

-R₅ (I₁₁-I₂₂) + (R₃+R₄)I₂₂ = - E₅ – E_4,

(-R₅)I₁₁+(R₃+R₄+R₅)I₂₂ = – E₄ - E_5.

В уравнении (б) множитель при токе I₁₁ являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁ множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) – через R ₁₂.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь

R₁₁ = R₁ + R₂+ R₅; Е₁₁ = Е₁ + Е₅;

R ₁₂ = R ₂₁ =- R₅; R₂₂ = R₃ + R₄+ R₅; Е₂₂= - E₅ – E_4,

где R₁₁ и R₂₂ - полные или собственное сопротивления первого и второго контуров соответственно; Е₁₁ и Е₂₂ - контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС этих контуров; R ₁₂ = R ₂₁ - сопротивление смежной ветви между первым и вторым контуром, взятое со знаком минус.

Если в схеме больше контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(2.4)

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами, найденный контурный ток является истинным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяются токи ветвей.

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п -уравнений относительно тока I_kk таково:

(2.5)

где

(2.6)

- определитель системы.

Алгебраическое дополнение Δ_km получено из определителя Δ путем вычеркивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Если для схемы рис. 2.3 принять, что контурный ток I₁₁ = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I₂₂= I₃ замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I₂₂:

(R₂+ R₃)I₂₂-R₂J=E_.

Отсюда

и ток второй ветви I₂ = I₁₁ - I₂₂ =J-I_22.