3.2.3 Емкостный элемент

Примером емкостного элемента является плоский конденсатор – две параллельные пластины, находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга (рисунок 3.6, а).

Пусть к емкостному элементу приложено напряжение (рисунок 3.6, б)

u_c=U_msinωt. (3.34)

На пластинах емкостного элемента появится заряд q, пропорциональный приложенному напряжению:

q =C·u_c. (3.35)

Тогда ток в емкостном элементе

. (3.36)

Рисунок 3.6 – Емкостный элемент: а) схема конструкции плоского конденсатора;

б) изображение емкостного элемента на схеме; в) векторы тока и напряжения на емкостном элементе; г) графики мгновенных значений тока и напряжения; д) график мгновенной мощности

Таким образом, получим важные соотношения:

(3.37)

, (3.38)

где X_c = – емкостное сопротивление, измеряется в Омах и зависит от частоты.

Сопоставляя выражения (3.36) и (3.34), приходим к выводу: ток в емкостном элементе опережает по фазе напряжение, приложенное к нему, на 90⁰.

Это положение иллюстрируется на рисунке 3.6, в, г.

Анализ выражений (3.36) и (3.38) позволяет сделать и другие выводы:

- емкостный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого обратно пропорционален частоте. X_c.

- закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения:

U_m = X_c·I_m, (3.39)

так и для действующих значений:

U_m = X_C·I_m = X_C·U_C = X_C·I_C. (3.40)

Выразим мгновенную мощность р через i и u:

p = u·i = U_msinωt I_mcosωt =. (3.41)

График изменения мощности р со временем построен на рисунке 3.6, д. Анализ графика и (3.41) позволяют сделать выводы:

- мгновенная мощность на емкостном элементе имеет только переменную составляющую , изменяющуюся с двойной частотой (2ω).

- мощность периодически меняется по знаку – то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда p > 0, энергия запасается в емкостном элементе (в виде энергии электрического поля), а в течение других четвертьпериодов, когда p <0, энергия возвращается в электрическую цепь.

Запасаемая в емкостном элементе энергия за время dt равна

dW = pdt. (3.42)

Максимальная энергия, запасенная в емкостном элементе, определится по формуле:

. (3.43)

Учитывая, что I = C·ω·U, получим:

. (3.44)

3.3 Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока

Для расчета режима неразветвленной электрической цепи применим комплексный метод. Представим все синусоидальные величины их комплексами:

; =I·e^ψi; _R=U_R·e^ψuR ;

_L=U_L·e^ψuL ; _C=U_C·e^ψuC.

Порядок расчета такой же, как на постоянном токе. Во-первых, стрелками изображаем положительные направления тока, ЭДС и напряжений. Во-вторых, выбираем направление обхода контура по направлению движения часовой стрелки и записываем уравнение по второму закону Кирхгофа:

=jωLİ+Rİ−j. (3.45)

Выражения Rİ, jωLİ = jX_Lİ, −j− jX_Сİ отражают особенности проявления закона Ома для резистивного, индуктивного и емкостного элементов электрической цепи:

= Rİ; jX_Lİ; = − jX_Сİ.

Здесь умножение на +j означает, что напряжение опережает по фазе ток İ на , умножение на− j означает, что напряжение отстает по фазе от тока İ на 90°.

Из (3.45) находим комплексный ток в цепи:

=. (3.46)

или (так как )

=(3.47)

где =U·e^jφu – напряжение между выводами ав неразветвленной цепи (рисунок 3.7, а).

Величина, стоящая в знаменателе,

Z=R+j= R+j(X_L-X_C), (3.48)

называется комплексным сопротивлением (неразветвленной цепи).

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью: Y =

На рисунке 3.7,б построена векторная диаграмма тока и напряжений неразветвленной цепи для случая: X_L>X_C.

Рисунок 3.7 – Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока:

а) схема электрической цепи; б) векторная диаграмма тока и напряжений;

в) изображение комплексных сопротивлений на комплексной плоскости

Обычно векторная диаграмма строится в конце расчета по полученным значениям тока и напряжений. При этом проверяется правильность расчета.

Поделив все составляющие векторной диаграммы на İ, получаем значения комплексных сопротивлений и изображаем комплексные сопротивления R, jX_L, −jX_C, Z на комплексной плоскости (рисунок 3.7, в) получаем диаграмму, подобную диаграмме тока и напряжений.

Обратим внимание на “треугольник сопротивлений” (заштрихованная площадь), стороны которого соответствуют сопротивлениям R, X=X_L-X_C и Z. Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений (рисунок 3.7, б).

Анализ диаграммы сопротивлений позволяет перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам:

Z = z·cosφ+jz·sinφ; (3.49)

Z = z·e^jφ, (3.50)

где – модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;

φ = arctg– - аргумент комплексного сопротивления.

В зависимости от знака величины ()аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостный характер).

Подставив (3.50) в (3.46) или в (3.47), получим закон Ома для неразветвленной цепи:

= ()·(3.51)

или

= ()·(3.52)

то есть

I = ; (3.53)

При нескольких последовательно соединенных элементах комплексное сопротивление

Z= ΣR + j (ΣX_L-ΣX_C) = R+jX, (3.54)

где R=ΣR – активное сопротивление цепи;

X= ΣX_L-ΣX_C – реактивное сопротивление цепи.

В активном сопротивлении происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопротивлении – не происходит.

Полное сопротивление и аргумент комплексного сопротивления можно рассчитывать по формулам:

; (3.55)

φ = arctg–.(3.56)