3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I₀ в течение промежутка времени t равна:

Q = I₀² · R · t. (3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

dQ = i² Rdt, (3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

Q = , (3.9)

Пусть i = I_m sin ωt, тогда:

Q = sin ² ωtRdt = RT

Введем величину I =, называемую действующим значением синусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

Q = 1²RT, (3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: действующее значение синусоидального тока равно такому значению посто­янного тока, который за один период выделяет в том же резисторе та­кое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:

и . (3.11)

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

(3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

I_ср = (3.13)

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет = 0,638 от амплитудного значения. Аналогично, Е_ср = 2Е_т / π, U_cp = 2U_m / π.

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и эдс комплексными числами и векторами

Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом:

i = I_т sin(ωt + ψ_i)I_me^{J(ωt + ψi)}. (3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t = 0:

i = I_т sinψ_i=I_m I_me^Jψi. (3.15)

Величину _m называют комплексной амплитудой тока или комплексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на :

= =I · , (3.16)

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выражения

= U · , = E · .

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на ком­плексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен вектор İ. При этом угол ψ_i отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки, если ψi >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока İ (так же, как комплекс напряжения и ЭДС) можно представить

Рисунок 3.3 - Изображение синусоидального

тока на комплексной плоскости вектором I

а) вектором İ;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригоно-метрической формах:

İ = I·= Re İ +jJmİ =·Icosψ+jIsinψ, (3.17)

Пример 3.1 Ток i=2sin(ωt+30°)А. Записать выражение для комплексной амплитуды этого тока.

Решение. В данном случае I_m=2А, ψ=30°. Следовательно,

İ_m=2·e^j30° = (2cos30°+j·2sin30°)=√3+j·1А.

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока İ_m=25·e ^-j30° А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить I_m на e ^jωt и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения:

i=Jm (25·e ^-j30°·e ^jωt) = Jm (25 e ^j(ωt-30°))=25sin(ωt-30°).

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение: = = · А.