Fizika - V. F. Dmitriyeva

ГЛАВА 2 ЗАКОНИ МЕХАШКИ НЬЮТОНА

§11. Перший закон Ньютона

Динаміка

Динаміка* - розділ механіки, присвячений вивченню руху мл геріальних тіл під дією прикладених до них сил.

Удинаміці розглядаються два типи задач.

•Задачі першого типу полягають у тому, щоб, знаючи закони руху

їїіа, визначити діючі, на нього сили. Класичним прикладом розв'язання і.ікої задачі стало відкриття Ньютоном закону Всесвітнього тяготіння.

ііііііочи встановлені Й. Кеплером закони руху планет, Ньютон показав, і по цеп рух відбувається під дією сили, обернено пропорційної квадрату підставі, між планетою та Сонцем,

• Задачі другого типу в динаміці є основними і полягають в тому, щоб, знаючи початкове положення і початкову швидкість тіла, за діючими на тіло силами визначити закон його руху.

Рух і спокій

На перший погляд, найприроднішим станом тіла є стан спокою. В спокої знаходяться каменьвалуни, розташовані обабіч дороги, меилі в кімнаті, будови на поверхні Землі. Але! Всі .ці тіла рухаються разом і» Землею навколо Сонця.

Рух обіймає собою всі зміни і процеси, що відбуваються, у Всесвіті» Рухаються зоряні системи -- галактики, зірки, планети. І на Землі скрізь <мчимо рух; тече вода в річках, небом "пливуть" хмари і летять літаки, по іемлі рухаються автомобілі. Рухаються невидимі молекули та атоми.

Рух с спосіб існування матерії Основною характеристикою руху є швидкість. Чи може рухоме тіло

і амс по собі змінити швидкість свого руху? Що є причиною зміненим швидкості руху тіла? Відповіді на ці запитання є очевидними, вони вини квають із безпосередніх спостережень. Щоб змінити швидкість руху 11 'і.г потрібне діяння на нього інших тіл.

V Всесвіті практично неможливо знайти тіл, які б не зазнавали зовнішніх діянь. Проте якщо зовнішні діяння є, але вони, компенсовані (зрівнова-

•сні), то при розв'язуванні деяких задач тіло може вважатися вільним.

'Динаміка - від грец. <3іпатік6$ - сильний, ііупагт§ - сила.

71

Вільним тілом називають тіло, на яке не діють інші тіла (або поля).

Якщо тіло є вільним, то швидкість його руху не змінюється. Наприклад, шафа, що стоїть у кімнаті, ніколи сама по собі не почне рухатися гю кімнаті. Якщо тіло знаходиться в спокої, то його швидкість є сталою і дорівнює нулеві, тобто V = 0 = С01151. Щоб змінити швидкість тіла, яке знаходиться в спокої, потрібне діяння на нього інших тіл.

Найпростішим видом руху тіла є рівномірний прямолінійний рух, в якому швидкість - величина стала. У стані спокою швидкість теж величина стала і дорівнює нулеві. Отже, спокій - окремий випадок прямолінійного рівномірного руху.

Перший закон Ньютона - закон інерції

Спостереження за рухом тіл і розмірковування про характер цих рухів дозволили І. Ньютону сформулювати знамениті закони руху, які він виклав у праці "Математичні початки натуральної філософії" (книжку було видано в 1687 р.).

В основі праці "Математичні початки", як і в праці Евкліда "Початки", лежать декілька аксіом, що не потребують доведення, - законів (основних положень), які являють собою узагальнення багатовікового досвіду, підсумки всьому зробленому за попередні тисячоліття в ученні про найпростіші форми руху матерії.

Перший закон Ньютона говорить:

будь-яка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до того часу, поки зовнішні діяння з боку інших тіл не змінять цього стану.

Перший закон Ньютона виконується в системах відліку, котрі називаються "інерціальні", і встановлює факт існування інерціальних систем відліку.

Інерціальні - це системи відліку, в яких вільне тіло рухається прямолінійно і рівномірно.

Для опису механічних рухів на Землі інерціальну систему відліку зв'язують із Землею (геоцентрична система відліку). Більш строго перший закон Ньютона виконується в геліоцентричній системі відліку. Початок відліку координат цієї системи суміщують з центром Сонця, а координатні осі проводять у напрямі нерухомих зірок.

Питання про те, чи є вибрана система відліку інерціальною, вирішується експериментально. Якщо в межах точності вимірювань у даній системі відліку перший закон Ньютона виконується, то вона може вважатися інерціальною.

72

Рівномірний і прямолінійний рух вільного тіла в інерціальній системі відліку називають рухом за інерцією. Рухаючись за інерцією, вільне тіло не змінює швидкість ні за модулем, ні за напрямом: V = сопзі.

Експериментальні підтвердження закону інерції

Неодноразово можна спостерігати, що в разі різкого гальмування водієм автобуса чи тролейбуса пасажири, що знаходяться в ньому, нахиляються вперед, продовжуючи рух за інерцією. Коли автобус різко рушає з місця, пасажири відхитнуться назад.

За інерцією злітає грязь з автомобільних чи велосипедних колес, які обертаються.

Зі свого життєвого досвіду кожен знає, як важко швидко зупинитися 11 юдині, що біжить, якщо не схопитися руками за яке-небудь нерухоме і їло - стовп, дерево; за інерцією продовжує свій рух спринтер або лижник, пробігши певну дистанцію.

Іноді зайцю щастить врятуватися від переслідуючого його вовка, якщо він зможе стрибнути вбік.

За інерцією рухається Місяць навколо Землі, планети - навколо Сонця.

§ 12. Сила

Сили в механіці

Сила ¥ - іде векторна фізична величина, яка є мірою механічного діяння на тіло з боку інших тіл або полів.

Це діяння проявляється у зміненні швидкості рухомого тіла або зміненій форми і розмірів тіла.

Сила, як і будь-яка векторна величина, вважається заданою, якщо відомі її модуль, напрям у просторі і, крім того, точка прикладення. Пряма, відовж якої напрямлена сила, називається лінією дії сили.

Поняття сили завжди стосується двох тіл (або тіла і поля). При діянні одного тіла на інше відбувається їхня взаємодія або в разі стикання, або на відстані за допомогою поля.

Фізична природа взаємодій може бути різною. На цей час відомо чотири типи фундаментальних взаємодій: гравітаційна, електромагнітна, сильна, слабка.

У механіці розглядаються гравітаційні сили, або сили тяжіння, та різновиди електромагнітних сил - сила пружності і сила тертя. Сили, що розглядаються в механіці, залежать або від відстані між тілами чи частинами одного і того самого тіла, або від відносних швидкостей руху тіл.

73

Принцип незалежності дії сил

Принцип незалежності дії сил або принцип суперпозиції (накладення) сил формулюється так.

Якщо на матеріальну точку (тіло) одночасно діють кілька сил, те кожна з сил діє незалежно від інших сил.

Цей принцип є слушним для сил різної фізичної природи.

Система кількох сил, одночасно діючих на матеріальну точку, може бути замінена рівнодійною силою, що дорівнює їх геометричній сумі:

У загальному випадку, для визначення рівнодійної сили застосовують правило многокутника. Найчастіше доводиться знаходити рівнодійну двох сил. У цьому разі зручніше застосовувати правило паралелограма: рівнодійна сила Р дорівнює діагоналі паралелограма, сторонами якого є

Якщо відомі модулі сил [ Р1 | і | Р2 | та кут а між ними, то можна визначити модуль рівнодійної сили» За теоремою косинусів маємо

| Р | Ч * 1 |2 + | Р 2 ! 2 - 2 | Р 1 | | Р 2 | с о 8 0 8 0 ° - а ) .

Модуль рівнодійної залежить не тільки від модулів складових, сил, але й. від косинуса кута (а) між ними.

* Якщо а = 0, то сова = 1. Сили є співнапрямленими, і Е п

Модуль результуючої сили дорівнює сумі модулів складових сил. Си-

|Р|2=(|Р.І-|Р2І)2> |РНР,|-|Р2|.

74

ІІІ»:

Рис. 2.2

Модуль результуючої сили дорівнює різниці модулів складових сил.

ІІлпрям вектора Р збігається з напрямом сили, модуль якої більший.

•Якщо |Р| |=|Р2І > тобто сили однакові за модулем і протилежно напрямлені, то результуюча сила Р дорівнюватиме нулю. В такому разі еисгема сил називатиметься зрівноваженою.

( Систему сил, діючих на матеріальну точку, можна зрівноважити, якщо до

іочки прикласти силу, що протилежно напрямлена результуючій і однакова з

|Г|2=|Р,|2+|Г2|2 або|Г|=Л/]ІПГ+|Р2І2 •

Модуль результуючої сили | Р І визначається за теоремою ГІіфагора.

Розкладання сили на складові

Під час розв'язання деяких фізичних задач виникає потреба V розкладанні вектора сили Р на складові. Частіше зустрічаються задачі про розкладання вектора сили Р на дві складові, що лежать в одній площині. Ці задачі мають однозначний розв'язок у двох випадках.

Випадок 1. Відомо одну зі складових вектора Р. На рис. 2.4, а зображено иектор сили ¥ і його складову ¥х у певному масштабі. Для знаходження другої складової застосовуємо правило трикутника. Позначимо на площині доцільну точку О (рис. 2.4, б) і відкладемо від цієї точки вектор О А = Е і

75

Випадок 2. Відомо напрями обох складових вектора Р. На рис. 2.5, а це лінії NN і ММ. Позначимо на площині довільну точку О (рис. 2.5, б) і відкладемо від цієї точки вектор ОВ = Р . Проведемо через точку О прямі N'N'11 NN та М'М'\\ММ . У прийнятому масштабі, застосувавши правило паралелограма, визначають складові ОА = Р, і ОС = Р2 як сторони паралелограма, діагоналлю якого є ОВ = Р . Наприклад, на тіло, що знаходиться на похилій площині АВС з кутом нахилу а (рис. 2.5, в), діє сила Р, напрямлена перпендикулярно до АС (Р і_ АС). Складові цієї сили, напрямлені паралельної (Рц) і перпендикулярно до АВ (Р±), визначаємо за правилом паралелограма (рис. 2.5, в): Р.. - Рвін а ; Р± = Рсоза .

§ 13. Маса

Маса - міра інертності

Всі тіла володіють інертністю.

Інертність - це властивість тіла зберігати стан спокою або стан прямолінійного рівномірного руху, коли діючі на нього сили відсутні або взаємно зрівноважені.

Внаслідок інертності тіла зберігають свою швидкість за відсутності взаємодії з іншими тілами.

Припустимо, на колії стоять два однакових вагони. Один із них порожній, інший - навантажений. Який з вагонів "легше" вивести зі стану спокою, тобто змінити його швидкість? Зрозуміло, порожній.

Порожній і навантажений вагони рухаються з однаковою швидкістю. Який з цих вагонів "важче" зупинити, тобто змінити його швидкість? Зрозуміло, навантажений. Отже, інертність навантаженого вагона більша за інертність порожнього, тому що маса навантаженого вагона більша за масу порожнього.

Маса* - це фізична величина, яка є мірою інертності тіла при його поступальному русі.

* Маса (від лат. тазза) - брила, грудка.

76

Маса - величина скалярна. Одиниця маси - кілограм (кг).

Кілограм - це маса еталона, відлитого зі сплаву платини та іридію (90 % 14, 10 % Іг) у вигляді циліндра (міжнародний прототип кілограма), висота якого - 39 мм - дорівнює його діаметру. Еталон зберігається в Міжнародному бюро мір і вагів (м, Севр, поблизу Парижа). Всі країни мають точні копії цього еталона.

У класичній механіці (або механіці Ньютона), тобто коли швидкість макротіл V набагато менша за швидкість світла у вакуумі (і^<с), вважається:

маса тіла не залежить від швидкості його руху; маса - величина адитивна, тобто маса тіла дорівнює сумі мас усіх час-

тинок (або матеріальних точок), із яких воно складається. Якщо, наприклад, три тіла масою тх, т2, т3 з'єднати разом, то маса об'єднаного тіла т дорівнюватиме сумі мас: т - тх + т2 + т3 . Якщо тіло розділити на частини (наприклад, розірвався снаряд), то сума мас частин (осколків) дорівнюватиме масі тіла до розділення (масі снаряда).

Найважливіша властивість маси - її збереження. Маса замкненої сис-

теми тіл лишається незмінною при будь-яких процесах, що відбуваються в системі.

Центр мас

Для поступального руху тіла зручно ввести таке поняття, як центр мас або центр інерції.

Центр мас - це точка, в якій може вважатися зосередженою маса тіла при його поступальному русі.

Точки тіла, що рухається поступально, мають однакову швидкість і описують паралельні одна одній траєкторії. Тому можна розглядати поступальний рух не всього тіла, а однієї точки - його центра мас, тобто матеріальної точки, в якій наче зосереджена вся маса тіла.

Очевидно, що центр мас однорідних симетричних тіл збігається з центром симетрії О (рис. 2.6, а). Центр мас однорідної кулі збігається з її центром. Центр мас однорідного стрижня знаходиться в його середині.

Рис. 2.6

77

т2

Сг — •

б

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Центр мас тіла може знаходитися й поза тілом (наприклад, центр мас однорідного обода чи кільця, рис. 2.6, б).

Як визначити положення центра мас довільного тіла? Розглянемо найпростішу систему, що складається з двох матеріальних точок масами

т| і т2.

•Якщо тх = т2, то центр мас лежить на середині відрізка прямої, яка з'єднує ці точки (рис. 2.7, а): | Іх |=| /2 і.

•Якщо тх Ф т2, тх > т2, то центр мас лежить на відрізку прямої, що з'єднує ці точки, і знаходиться в точці, розташованій ближче до тх (рис.

Формула (2.3) аналогічна правилу важеля, яке було відомим ще Аристотелю. Це правило застосовував і Архімед у різних підіймальних механізмах.

Застосовуючи формулу (2.3), можна визначити центр мас двох тіл, які нерозривно зв'язані одне з одним, наприклад, подвійних зірок або системи Земля-Місяць, якщо відомо масу тіл та відстань між ними.

Визначимо положення центра мас матеріальних точок масами тх і т2

відносно початку відліку (рис. 2.8).

Положення точок /, 2 і центра мас С визначаються векторами г{, г2 і

78

Помножимо перше рівняння на тх, а друге на т2, дістанемо

тхг€ = /^г, -4- ш51|, /и2г<: = ш2г2 + ш2І2.

Додавши ці рівняння, матимемо

г.(тх -і* тг) = тхгх + тх\х 4- тггг + ш2І2.

Із формули (2.3) випливає, що тх\х =-ш2 !2 »тому

Отже, положення центра мас системи, яка складається з двох матеріальних точок, визначається радіусом-вектором

ЛІ, +

Якщо система складається з я матеріальних точок, маса і~ї матеріаль-

Механічний стан матеріальної точки в даній системі відліку визначають координати х, у, г (або радіус-вектор г) та її швидкість уь Якщо одна з величин змінюється, то матеріальна точка переходить в інший механічний стан.

Функцією механічного стану матеріальної точки е; фізична величина, котра називається імпульсом.

79