Fizika - V. F. Dmitriyeva

Одиниця імпульсу - кілограм-метр на секунду (кг • м/с). Кілограм-метр на секунду дорівнює імпульсу матеріальної точки ма-

сою 1 кг, що рухається зі швидкістю 1 м/с.

Оскільки маса завжди є додатною (т > 0), то вектори швидкості й ім-

пульсу є співнапрямленими: V ТТ р (рис. 2.9).

Кожному механічному стану даної матеріальної точки у вибраній системі відліку відповідає певний імпульс. Імпульс не залежить ні від процесу, внаслідок якого матеріальна точка опинилась у даному механічному стані, ні від попередніх або наступних її механічних станів,

У подальшому вивченні фізики ми переконаємось, що імпульс - це одна з найважливіших фізичних величин-характеристик руху матеріальних тіл.

Імпульс тіла

Будь-яке тіло можна подати як систему матеріальних точок. Імпульс р тіла, що складається з п матеріальних точок, дорівнює

векторній сумі імпульсів усіх точок системи:

пп

У разі поступального руху всі матеріальні точки, в тому числі й центр мас системи, рухаються з однаковою швидкістю Ус . Сумарна маса точок

п

системи дорівнює масі тіла У/я,-. Вектори імпульсів усіх матеріальних /=і

точок співнапрямлені.

Імпульс тіла (р) - векторна величина, яка дорівнює добутку маси (пі)

Якщо матеріальна точка або тіло рухаються поступально за інерцією (у = соп5і), то їх імпульси не змінюються, тобто лишаються сталими ( р = СОП5І ).

* Імпульс (від лат. ітприїзиз) - поштовх, удар.

80

§15. Другий закон Ньютона

Досліди з визна чення залежності прискорення від сили та маси

Другий закон Ньютона встановлює залежність рухомого тіла нід маси тіла і сили, що діє на нього. Для з'ясування цієї залежності проподми» такі досліди.

Перуть легкопересувний візок, такий, щоб маса візка (тв) була набагато меншою за масу вантажу на ньому (шв т ), і вважають, що тв + т «т (рік- 2.10). Далі, при русі візка по шкалі, визначають шлях, який проходить ні і« »к за певні проміжки часу А/, 2А/, ЗАґ, причому А/ = соші. Константа мо- і г бути будь-якою, але в усіх дослідах однаковою, наприклад, А/ = 2 с .

Vпершій серії дослідів з'ясовують залежність прискорення від діючої

іі.іі їло сили; при цьому маса системи лишається сталою (т = сопяі), а

інла Р змінюється.

Удругій серії дослідів з'ясовують залежність прискорення від маси

*ік геми; при цьому діюча сила є сталою (Р = сошї), а маса т змінюється.

Прискорення і сила

Перед тим як дослідним шляхом визначати залежність прискорення тіла від діючої на нього сили, потрібно знати характер руху тіла, Спо~ і ігреження за рухом тіл показують, що чим більшою є сила, яка діє на тіло, мім швидше змінюється швидкість тіла, тобто виникає прискорення, Якщо іш тіло діє стала сила, то яким буде прискорення тіла: сталим чи змінним?

Щоб відповісти на це запитання, за формулами кінематики визначимо

©

81

Якщо тіло починає рух зі стану спокою (г/0 = 0) і прискорення стале

(а = соті), то

(2.10)

Отже, ^- = 4; ^- = 9.

Як видно з отриманих співвідношень, відстань, яку проходить тіло при рівноприскореному русі за проміжок часу 2А/, учетверо більша, а за проміжок часу ЗА і - удев'ятеро більша, ніж за проміжок часу А і.

Чисельні досліди, що проводилися зі збільшуваним ступенем точності вимірювання відстаней 8Ь 52? 53, які проходило тіло сталої маси пщ дією сталої сили за проміжки часу Д/, 2Д/, ЗА і, підтвердили ці співвідношення. Отже, тіло під дією сталої сили рухається рівноприскорено, тобто ери Р - сопзі а = сошІ. Вектори сили і прискорення співнапрямлені: Р ТТ а.

Для з'ясування залежності модуля прискорення тіла від модуля діючої сили визначають відстані, які проходить тіло за проміжок часу Д/, якщо на тіло діють почергово сталі сили Р\ 2Р\ ЗР І т, д„ 3 дослідів випливає, що під дією сили 2Р" відстань, яку проходить тіло за проміжок часу А/, удвічі більша, ніж під дією сили К Якщо силу збільшити втричі (Зі7), то за. проміжок часу Аі теш проходитиме відстань утричі більшу, ніж під дією сили К Отже, в скільки разів збільшується сила, в стільки ж разів збільшується відстань. Наприклад, взявши для дослідів А/=соп$1 = 2с та порівнявши результати їх і дані, отримані з формул. (2.10), бачимо, що із збільшенням сили вдвічі прискорення збільшується також удвічі, оскільки, відстань збільшується вдвічі. Якщо силу збільшити втричі, то й прискорення збільшиться втричі, тобто між прискоренням і силою існує прямо пропорційна залежність а - Р .

Прискорення рухомого тіла прямо пропорційне силі, яка діє на нього»

Прискорення і маса

На візку з вантажем у цій серії дослідів діє стала сила Р = сотІ; отже, він має рухатися зі сталим прискоренням, прямо пропорційним силі (див., рис. 2,10). Візок завантажують, розміщуючи на ньому послідовно вантаж масою т9 2т9 3ту і визначають відстані, котрі проходить візок за проміжок часу А/ (А і = согші) під дією сталої сили Р. Досліди показують, що коли маса візка 2т, З/я, то відстані, які проходить візок за проміжок

82

часу Ал відповідно вдвічі і втричі менші, ніж при масі візка т. Отже, між

прискоренням і масою існує обернено пропорційна залежність а ~ —.

т

Прискорення рухомого тіла обернено пропорційне його масі.

Другий закон Ньютона

Різні сили, що діють на одне й те саме тіло, надають йому ріиш х прискорень. Як показують досліди, прискорення тіла пропорційне діючій на нього силі:

р2 аі '

У разі дії однакових сил на різні тіла прискорення тіл обернено прогюриіііііе їх масам:

ш\ а2

т2 ах

Другий закон Ньютона говорить:

прискорення тіла в інєрціальній системі відліку прямо пропорційне діючій на тіло силі та обернено пропорційне масі тіла:

Вектори прискорення а та сили Р співнапрямлені: а ТТ Р.

У такій формі другий закон Ньютона є слушним для поступального руху незмінного за масою тіла скінченних розмірів; при цьому всі точки 11 па рухаються з однаковим прискоренням.

Для розв'язання задач динаміки другий закон Ньютона часто запису-

Сила, що діє на тіло, дорівнює добуткові маси тіла на його прискорення.

Одиниця сили - ньютон (Н).

Ньютон дорівнює силі, яка надає масі 1 кг прискорення 1 м/с в на-

к г м прямку дп сили: 1 Н = 1—— .

с

Якщо на тіло діє кілька сил, то за формулою закона Ньютона (2.11) під < млою Р слід розуміти рівнодійну всіх цих сил. Такий висновок випливає і принципу незалежності дії сил.

83

В окремому випадку, коли всі сили, що діють на тіло, напрямлені вздовж однієї прямої, їх рівнодійна, а отже, й прискорення напрямлені вздовж тієї ж самої прямої, і тому рівняння основного закону механіки можна записати в скалярній формі:

де рівнодійна сила Р є алгебричною сумою всіх сил, які діють на тіло. При цьому, якщо напрям сили Р збігається з напрямом швидкості руху V,

нено, наприклад, під дією сили тертя.

Якщо рівнодійна всіх сил, діючих на тіло, дорівнює нулю (Р = 0), то прискорення тіла дорівнює нулю (а = 0), тобто швидкість руху тіла є сталою: V = соп8І - рух прямолінійний і рівномірний.

Доцентрова сила

Сила або рівнодійна кількох сил, яка забезпечує рух матеріальної точки або тіла колом, називається доцентровою силою Рдц *. Роль до-

центрової сили виконують реально існуючі в природі сили або їх рівнодійні. Доцентрова сила завжди напрямлена до центра кривини траєкторії.

Якщо на тіло масою т діє доцентрова сила (рис. 2.11), то воно рухається з доцентровим або нормальним прискоренням (ат =ап), модуль якого до-

Vі.2

рівнює адц "я

Прискорення ат, набуте тілом масою т від дії на нього доцентрової

р

сили ,РДЦ , визначається згідно з другим законом Ньютона: адц = —^—, звід-

т

ки Рдц = шадц. Враховуючи, що прискорення адц за напрямом збігається з силою Рдц, модуль доцентрової сили

Рис. 2.11

дц

* Зверніть увагу! Доцентрових сил у природі не існує.

84

§ 16. Основний закон класичної динаміки

В основній праці І. Ньютона "Математичні початки натуральної філософії" викладено закони механіки, котрі пізніше отримали нашу законів Ньютона. В цій праці другий закон має дещо інше формулювання, ніж наведене в § 15:

зміна імпульсу тіла пропорційна прикладеній до нього силі і відкупається за напрямом тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.

можна внести під знак дельта: А{т\) = РА/ або Ар = РД/.

Формула (2.15) є більш узагальненою формулою другого закону Ньюгона, ніж формула (2.11), тому що є слушною як для рухомих тіл сталої, іак і змінної маси. Цю формулу можна застосовувати, якщо:

• маса поступально рухомого тіла змінюється в часі. Наприклад, маса ракети в польоті зменшується з плином часу, тобто є величиною

імінною;

®тіло рухається зі швидкістю, порівнянною зі швидкістю світла у вакуумі. Маса залежить від швидкості руху тіла.

Зформули (2.15) знайдемо силу

А(

Звідси видно, що сила, яка діє на тіло, дорівнює зміні імпульсу тіла за одиницю часу. Отже, зміна імпульсу тіла, а отже й швидкості, не може відбуватися миттєво.

85

Р= соп8І Ф 0 . Якщо АУ Ф 0, то і А/ ^ 0.

Уразі дії на тіло сили швидкість руху змінюється поступово і тим повільніше, чим більша його маса, яка є мірою інертності тіла.

§17. Третій закон Ньютона

Сили дії та протидії

Поняття "сила" завжди стосується двох тіл, Сила виникає, коли взаємодіють два тіла. В процесі взаємодії матеріальні точки або тіла є рівноправними.

На рівність сил при взаємодії тіл указував ще голландський фізик

X.Гюйгенс. Цього висновку він дійшов, вивчаючи зіткнення тіл. Рівноправність взаємодіючих матеріальних точок або тіл відбиває тре-

тій закон Ньютона.

Ньютон сформулював цей закон так: "Будь-якій дії завжди перешкоджає рівна і протилежна протидія" (рис. 2.12). В наш час третій закон Ньютона гласить:

сили взаємодії двох тіл в інерціальиій системі відліку рівні за модулем, протилежні за напрямом і діють вздовж прямої, що з'єднує ці тіла:

Р1 2 =~Р2 1 .

Одну з цих сил, наприклад Р12 , називають силою дії, іншу (Р21) - силою протидії (див. рис. 2.12). Сила дії та сила протидії завжди діють парами і є силами однієї природи, оскільки виникають у процесі взаємодії тіл. Ці сили прикладені до різних тіл і не можуть зрівноважувати одна одну.

Сили Р12 і Р21, що прикладені до різних матеріальних точок, можуть взаємно врівноважуватися тільки тоді, коли обидві матеріальні точки належать одному і тому самому твердому тілу. В цьому разі сили Р12 і Р21 є внутрішніми силами взаємодії матеріальних точок тіла. Застосовуючи другий і третій закони Ньютона до всіх точок твердого тіла, можна пока-

86

Застосування третього закону Ньютона

Розглянемо взаємодію двох тіл (А і В), Наприклад, людина, юячи в човні, підтягає інший човен за допомогою мотузки (рис, 2.13), її ідно з третім законом Ньютона

Якщо на тіло діє сила, то відповідно до другого закону Ньютона тіло під дією цієї ^ пли набуває прискорення і мшшідношення (2.16) можна переписати у вигляді тАьА =

- !ПВ'АВ . Знак "мінус" у цій (|)ормулі показує, що прискорення тіл А і В протилежно напрямлені:

.» , І Т а ^ , За третім заковом Ньютона модулі цих сил однакові, отже, ш4пл = твав. Визначимо відношення модулів прискорень взаємодіючих тіл:

ав тА *

Прискорення, набуті тілами мри взаємодії, обернено пропорційні масам ВЗАЄМОДІЮЧИХ тіл. Чим більша маса тіла, тим менше його прискорення.

Знайдемо відношення прискорень Землі аф і космічного корабля а при його запусканні. Сучасні космічні кораблі багаторазового викорис- і ання мають масу порядку т = 2*106 кг, Маса Землі М@ = 6 • і О24 кг, тоді

Три закони Ньютона описують рух майже всіх матеріальних об'єктів, які оточують нас: від молекул газів до планет Сонячної системи,,

§ 18. Закон всесвітнього тяжіння

Геліоцентрична система світу

Геоцентричний світогляд, або вчення Аристотеля - Птолемея (II ст. н, е.), ідо існував майже 2 тис. років, спирався на довгий загальнолюдський досвід, Люди щоденно спостерігали схід і захід Сонця, добовий рух зірок і не підозрювали, що Земля не покоїться, а з величезною швидістю рухається в світовому просторі.

87

мін в садочку падаюче яблуко, Ньютон замислився, чи діє земне тяжіння м.і Місяць так само, як і на яблуко. Ньютон був першим, хто спочатку припустив, а потім строго довів, що причиною падіння яблука на Землю, руху Місяця навколо Землі і планет навколо Сонця є дія сили тяжіння. Ця і и на сила притягання - діє між двома будь-якими тілами у Всесвіті.

У своїх міркуваннях І. Ньютон виходив з наступного.

Тіла, що вільно падають у поверхні Землі (Яф -6,4-106 м), мають прискорення вільного падіння £ = 980 см/с2 . З астрономічних спостере- і ' іп, було відомо, що Місяць віддалений від Землі на відстань І( ~60Кф .

I Ірискорення а, яке надається Місяцю силою притягання до Землі, на цій відстані має бути меншим, ніж у Е2 разів, тобто в 602 разів, і становити

£980 см/с2 2

ч-2-г = ——-г—- = 0,27 см/с .

60602

ІІрискорення Місяця а напрямлене до Землі і має дорівнювати доценіровому прискоренню Місяця при русі його навколо Землі коловою орбі-

Числові значення прискорень збіглися (а = ап), отже, на Місяць, як і її.і тіла, що вільно падають у поверхні Землі, діє сила тяжіння Землі, і ця II їла є обернено пропорційною квадрату відстані г між взаємодіючими

,, 1 гілами: г ~ — .

г

Тіла, що знаходяться поблизу поверхні Землі, падають зі сталим прискоренням отже, на них діє сила притягання Р9 яка є прямо пропорційною масі тіла: Р = пщ, тому для всіх тіл

Р

— = £ = СОП5І .

т

Вільно падаюче тіло і Земля взаємодіють. Згідно з третім законом Ньююна на Землю, як і на тіло, має діяти така ж сама сила притягання, прямо

89