24-11-2015_18-24-19 / Mathcad - transient_C11
.pdf
Задача 1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени напряжения uc в течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
|
|
Исходные данные для варианта С |
|||
R1 9 |
R2 5 |
R3 12 |
L 612 10 3 |
E 220 В |
|
R4 6 |
Ом |
C 140 10 6 |
Ф |
|
|
рис.1
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
E
iL_0
R3 R4 R1
iL_0 8.148
uc_0 iL_0 R2 |
uc_0 40.741 |
(1)
Составление характеристического уравненияи расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
после коммутации
i iL ic = 0
uc R2 ic R3 i = E
L d iL |
R1 iL R3 i = E |
(2) |
|
dt |
|
|
|
1 |
t |
|
|
uc |
|
ic(t) dt = 0 |
|
|
|
||
C0
Вуравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
Given
Y (i 
iL ic uc)
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
0 |
R2 |
1 |
|
|
(3) |
R3 L p R1 |
0 |
0 |
= 0 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p C |
|
|
|
|
P Find(p) float 5 |
( 35.60 |
405.04) |
P ( 35.6 405.04)
P0 0 35.6
P0 1 405.04
Вычисление зависимых начальных условий.
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа. Получим системууравнений:
i ic = iL_0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 ic R3 i = E uc_0 |
X (uc' |
iL' |
i' |
ic' |
i ic) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
LiL' |
R3 i = E R1 iL_0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
R3 |
R2 |
|
|
|
|
|
|
L |
0 |
|
0 |
R3 |
0 |
|
|
C uc' ic = 0 |
M |
0 |
|
|
|
||||||
C |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i' iL' ic' = 0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
R2 |
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uc' R2 ic' R3 i' = 0
|
|
iL_0 |
|
|
|
|
E uc_0 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
E R1 iL_0 |
|
||
|
0 |
|
||
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
X |
M 1 V |
|
||
uc_0' X0 uc_0 40.741
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
i_pr |
E |
|
i_pr 10.476 |
|
R3 R1 |
||||
|
|
|||
uc_pr i_pr R1 |
uc_pr 94.286 |
|||
Запишем общие решения для токов:
uc(t) = A0 eP0 0 t A1 eP0 1 t |
uc_pr |
(8) |
|||
|
|||||
Продифференцируем токи |
|
|
|
||
d uc(t) = A0 P |
eP0 0 t A1 P |
|
eP0 1 t |
(9) |
|
|
|
||||
dt |
0 0 |
0 1 |
|
|
|
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = uc_0 uc_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 1 = uc_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
|
1 |
1 |
uc_0 uc_pr |
||
Ma |
|
|
Va |
|
|
P0 0 |
P0 1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
58.705 |
|
A Ma |
Va |
A |
|
|
|
|
5.16 |
Запись решения
uc(t) A0 exp P0 0 t A1 exp P0 1 t uc_pr
t 0 0.000005 0.003
43.5
43
42.5
uc(t) 42
41.5
41
40.5
0 |
5 10 |
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|