25-11-2015_16-29-06 / Mathcad - transient_10_С
.pdf
Задача 1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени uc в течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
|
Исходные данные для варианта 10_С |
|||
R1 9 |
R2 5 |
R3 12 |
L 12 10 3 |
E 220 |
R4 6 |
|
C 140 10 6 |
|
|
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
iL_0 |
|
|
|
E |
|
iL_0 23.086 |
|
||
(R2) R3 |
|
(1) |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
R3 R2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
i2_0 |
iL_0 |
|
R3 |
|
i2_0 16.296 |
|
|||
R3 |
R2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
uc_0 |
i2_0 R2 |
|
|
uc_0 81.481 |
|
||||
Составление характеристического уравнения и расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного
момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений
такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
цепь после коммутации
i1 i iL = 0
i1 iL i3 i2 ic = 0
uc R2 i2 = 0
uc R3 i3 = 0
(2)
LiL' R3 i3 = E
R3 i3 R1 i1 = E
C uc' ic = 0
В уравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
|
|
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (i i1 |
i2 |
i3 |
iL |
ic uc) |
|
|
|||||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
||
|
0 |
0 |
R2 0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
|
1 |
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
0 0 |
0 |
R3 L p 0 |
0 |
|
||||||
|
0 |
R1 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
||
|
p C |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P Find(p) float 5 |
|
( 230.0 |
2587.4) |
||||||||
|
P 230 |
2.587 |
103 |
|
|
|
|||||
P0 0 230
3
P0 1 2.587 10
Вычисление зависимых начальных условий.
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа. Получим системууравнений:
i1 i = iL_0
i1 i3 i2 ic = iL_0
R2 i2 = uc_0
(4)
R3 i3 = uc_0
LiL' R3 i3 = E
R3 i3 R1 i1 = E
C uc' ic = 0
i1' i' iL' = 0
i1' iL' i3' i2' ic' = 0
uc' R2 i2' = 0
uc' R3 i3' = 0
R3 i3' R1 i1' = 0
Из этих уравнений получим:
i3_0 |
uc_0 |
|
i3_0 6.79 |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
R3 |
|
|
|
|
|||||||
i2_0 |
|
uc_0 |
|
i2_0 16.296 |
|
||||||||
|
R2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
uL_0 E R3 i3_0 |
uL_0 138.519 |
||||||||||||
i1_0 |
|
uL_0 |
|
|
i1_0 15.391 |
|
|||||||
|
R1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i_0 i1_0 |
|
iL_0 |
|
i_0 38.477 |
|
||||||||
ic_0 |
i1_0 iL_0 |
i3_0 |
i2_0 |
ic_0 15.391 |
|||||||||
uc_0' |
|
ic_0 |
|
|
uc_0' |
1.099 105 |
|||||||
|
|
C |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i3_0' |
uc_0' |
i3_0' 9.161 103 |
|||||||||||
|
R3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
i_pr |
|
|
E |
|
|
i_pr 62.333 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R3 R2 |
|
||||
|
|
R3 |
R2 |
||||
i2_pr i_pr |
R3 |
|
|
|
|
||
R2 R3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
uc_pr i2_pr R2 |
|
|
uc_pr 220 |
||||
Запишем общие решения для uc:
uc(t) = A0 eP0 0 t A1 eP0 1 t |
uc_pr |
(8) |
|||
|
|||||
Продифференцируем uc(t) |
|
|
|
||
d uc(t) = A0 P |
eP0 0 t A1 P |
|
eP0 1 t |
(9) |
|
dt |
0 0 |
0 1 |
|
|
|
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = uc_0 uc_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 1 = uc_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
1 |
|
1 |
|
|
uc_0 uc_pr |
||
Ma |
|
|
|
|
Va |
|
|
P0 0 |
P0 1 |
|
|
uc_0' |
|
||
1 |
|
A |
|
105.399 |
|
|
|
A Ma |
Va |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
33.12 |
|
|
Запись решения |
|
uc(t) |
A0 exp P0 0 t A1 exp P0 1 t uc_pr |
||||
t 0 0.000005 0.003 |
|
|
|
|
|||
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
uc(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
50
0 |
|
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
5 10 |
|
|||||||
t