ЛЕКЦІЇ СКЕМ заочн. 2012
.pdf
Література:
1.Васютинский «Вопросы теории и расчетов трансформаторов»
2.Лейтес «Электромагнитный расчет трансформаторов и реакторов»
3.Фильц Р.В. «Математические основы теории электромагнитных преобразователей» и др.
§1. Формальний підхід складання математичних моделей трансформаторів
Математичні моделі трансформаторів складаються у фазовій системі координат.
У трансформаторах обмотки зосереджені (як ОВ СМ і МПТ).
Тому немає сенсу переходити до будь-якого результуючого вектору.
Фаза В и С також має свою вісь. Окремо по фазах, а потім
додаються.
За основу приймаються рівняння Максвелла:
U1 |
R1i1 |
|
d |
1 |
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
U 2 |
R2i2 |
|
d |
2 |
(1) |
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
Необхідно використовувати електромагнітну характеристику:
1 L11i1 M12i2 |
(2) |
|
2 L22i2 M 21i1 |
|
|
M12 M 21 M |
- взаємоіндуктивність між фазами не змінюється |
|
L11 M L 1 |
|
(3) |
L22 M L 2 |
|
|
Підставимо (3) в (2): |
|
|
1 L 1i1 M (i1 i2 ) |
|
|
2 L 2i2 M (i1 |
i2 ) |
(4) |
|
|
|
|
i0 |
|
Сума струмів - це струм неробочого ходу (н.х.)
1
Підставимо (4) в (1):
U |
|
R i L |
di1 |
|
M |
|
di0 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 1 |
1 |
|
dt |
|
|
|
dt |
||
U |
|
R i |
|
L |
|
di2 |
|
M |
di0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
dt |
|
|
|
dt |
|
d
Переведемо систему рівнянь (5) в усталений режим ( dt
- збуджуюча функція (первинна обмотка). f - її частота.
U1 (R1 jX 1 )I1 jX m I0
U2 (R2 jX 2 )I2 jX m I0
(M X m )
L 1 X 1
U |
1 |
(R jX |
1 |
)I |
1 |
E |
(6) |
|
1 |
|
|
|
U2 (R2 jX 2 )I2 E
Складається схема заміщення трансформатора:
(5)
j )
Магнітний опір дуже маленький, так як практично немає повітряного зазору
X m - дуже велике.
§ 2. Особливості складання математичних моделей трансформаторів
1. У трансформаторах не завжди можливо приймати допущення про ненасиченість магнітного кола (це ми приймаємо тільки в режимі к.з.: 0 0 ).
У робочому режимі це допущення неможливо приймати.
2
У трансформаторі Ф повністю замикається по магнітній системі. Практично немає повітряних зазорів. За технологією є великі допуски на виготовлення пластин електротехнічної сталі (до 5мм.), але за умови шихтовки зазора практично немає.
2.У трансформаторах декілька магнітних потоків: кожен Ф проходить по своїх фазах.
Кількість Ф дорівнює кількості кіл.
3.У трансформаторах немає ані теоретичних методів, ані практичних для визначення індуктивності розсіювання окремих обмоток.
Тому рівняння (3) практично правомірні.
Ця особливість обумовлена тім, що за законом фізики магнітний потік розходиться колами.
В обертових електричних |
У трансформаторі: |
машинах |
|
Неможна визначити який потік розсіювання відноситься (належить) окремо до первинної й до вторинної обмотці.
Первинна обмотка може складатися з декількох концентрів.
За своєю природою - це багатообмоткові трансформатори (якщо обмотка шарова - НН - між шарами канал охолодження й т.п.).
Це різні потоки.
§ 3. Математичні моделі багатообмоткових трансформаторів
Методика того ж сама: беремо рівняння Максвелла, тільки зростає їх кількість: (спочатку для одного стрижня, а коли вирішувати, необхідно скласти спільне рівняння для всіх стрижнів).
Для системи n лінійних індуктивно-зв’язаних електричних кіл (обмоток) маємо систему з n рівнянь.
3
U1 |
R1i1 |
|
|
|
d 1 |
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U 2 |
R2i2 |
|
|
|
d |
2 |
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U p |
Rp ip |
|
|
d p |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
. . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U q |
Rq iq |
|
|
d q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U n |
Rnin |
d n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишемо електромагнітну характеристику:
Не можна приймати, що всі взаимоиндуктивности однаково (Lij M ) Параметри системи (2) можуть бути не постійними, а змінними. Наше основне завдання в (2) позбутися індуктивностей Lij
Для цього яка би кількість концентрів не була, ми завжди можемо провести дослід К.З. між будь-якими двома.
p Lppip Lpqiq , всі інші = 0
q Lqpip Lqqiq
Система статична Lpq Lqp
Крім того в досліді К. З. ми зневажаємо IHX ip iq
Віднімемо ( p q ) , тому що трансформатор приведений і має
однакове число витків ( W ) :
p q pq L pq ip Lppip Lpqip Lpqip Lqqip
L pq Lpp Lqq 2Lpq
Lpq |
|
1 |
(Lpp Lqq L pq ) |
(3) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
4
У всіх рівняннях системи (2) замінимо Lij за формулою (3). Розглянемо на прикладі одного рівняння для контуру р.
p 12 (Lpp L11 L p1 )i1 12 (Lpp L22 L p 2 )i2 ...
12 Lppi p 12 Lppi p ... 12 (Lpp Lqq L pq )iq ... 12 (Lpp Lnn L pn )in
Lppi p
Проведемо перетворення:
|
|
1 |
|
|
1 |
n |
|
1 |
n |
|
|
p |
|
Lpp (i1 i2 |
... in ) |
Lqqiq |
|
L pqiq |
(4) |
||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 q 1 |
|
2 q 1 |
|
||||
(де i0 - струм, що намагнічує)
Подальша робота із цією формулою буде залежати від конструкції трансформатора.
Два види конструкції трансформатора:
1) Всі обмотки розташовані на стрижні концентрично й мають рівну висоту:
У рівнянні (4) 12 Lppi0 і перепишемо його:
|
|
|
1 |
n |
|
1 |
n |
|
p |
Lppi0 |
|
(Lqq Lpp )iq |
|
L pqiq |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
2 q 1 |
|
2 q 1 |
|||
Розпишемо й внесемо в цю формулу другий доданок:
Lppi0 Lppi1 Lppi2 |
... Lppin |
|
|
|
||
Подивимось на |
вираз |
(Lqq Lpp ) - |
він |
при |
насиченості сталі |
|
змінюється набагато |
менше, |
|
ніж Lqq . |
Якщо |
в |
трансформаторі з |
рівновисокими концентричними обмотками помітно насичуються тільки стрижні, тому різниця власних індуктивностей двох обмоток дуже близька до
їх індуктивності розсіювання L pq :
5
|
Lqq Lpp Lpq , якщо q p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Lqq Lpp Lpq , якщо |
q p , де |
нумерація |
обмоток |
йде від |
|||||||||
стрижня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Розіб'ємо на дві суми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
p 1 |
1 |
n |
|
1 |
p 1 |
|
|
1 |
|
n |
|
|
p Lppi0 |
L pqiq |
L pqiq |
|
L pqiq |
|
L pqiq |
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
2 q 1 |
p |
|
2 q 1 |
|
|
|
p |
|||||
|
Остаточно ми одержимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
Lppi0 Lpqiq |
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|||
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Що таке Lppi0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тут не феромагніт і можна розглядати лінійну залежність.
Ф - створюється всіма контурами, але проходить лише в цьому просторі.
W L i (якщо лінійна залежність) А в стрижні:
Lppi0 Wp C L0Pi0
По стрижню( c ). С - стрижень 0 - канал
p 1 |
|
p Wp C L0 pi0 L pqiq |
(6) |
q 1 |
|
6
Потокозчеплення залежить не тільки лише від потоку всіх контурів, але й від струму.
Залежність від потоку й струму - це внутрішня електромагнітна характеристика.
Треба зв'язати рівняння (6) з (1):
|
|
|
d |
|
di |
p 1 |
diq |
|
U p |
Rpip |
Wp |
|
L01 |
0 |
L pq |
|
|
dt |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
q 1 |
Треба брати тільки струми попередніх контурів (від 1 до р-1).
2. Обмотки довільно розташовані на стрижні
Уведемо умовний оператор:
z pq |
|
1 |
Rpq Lpq |
d |
|
|
2 |
dt |
(7) |
||||
|
|
|
|
|
||
При цьому |
Rpq 0 |
( p q) |
||||
Тобто зневажаємо R між контурами, а враховуємо тільки лише опір самого контуру.
Підставимо (7) в (4) і у відповідне рівняння (1):
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||
U p |
z ppio |
|
|
Z pqiq |
|
|
Z pqiq |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 q 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
По |
подобію |
контуру |
U p |
можна написати рівняння для будь-якого |
||||||||||||||||||||||||||||||||
контуру (напруга для 1-го контуру) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U1 |
|
z11io |
Zqqiq |
|
Z 1qiq |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 q 1 |
|
|
|
|
2 q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Віднімемо з 1-го рівняння 2-і системи (8): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
U p |
U1 |
z ppio |
|
Zqqiq |
Z p1 (i0 |
iq ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 2 |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
n |
|
|||||||||||
|
Z pqiq |
z11i0 |
|
Zqqiq |
|
z 11i1 |
|
Z 1qiq |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
q 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
q 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U p U1 |
(zpp z p1 z11)i0 |
(z p1 z 1q z pq )iq |
(9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Така формула справедлива для багатообмоткових трансформаторів (ми будемо використати для режиму К.З.)
(у режимі К. З. i0 0 )
|
n |
|
|
|
|
|
U p U1 |
z 1 pqiq , |
|
(10) |
|||
|
q 2 |
|
|
|
|
|
де z 1 pq |
|
1 |
(z 1 p |
z 1q |
z pq ) |
|
|
(11) |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
При цьому полю розсіювання пари обмоток – магнітному полю при рівності нулю Σм.д.с. обмоток – відповідає поле при зустрічному послідовному вмиканні двох обмоток, що розглядаються, приведених до одної кількості витків. Такий дослід зветься проти вмикання або проти намагнічуванням.
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
U p Um z mpqiq |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
q 2 |
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
1 |
(z |
|
z |
|
z |
|
) |
|
|
mpq |
2 |
mp |
mq |
pq |
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Цей вираз дає можливість виключити взаємні індуктивності з системи рівнянь (1) або (10), тобто замість взаємних індуктивностей розуміється комбінація власних індуктивностей і індуктивностей розсіювання. Знак «-» перед взаємною індуктивністю обумовлений зустрічним вмиканням обмоток.
У формулі (12) ми підсумовуємо з першого струму, але ми m-й контур пропускаємо.
Ми будемо розбивати обмотки на ряд зон, у межах яких ампер-витки будуть рівномірно розподілені.
§ 4. Електромагнітні характеристики трансформатора і їхні параметри (параметри характеристик)
Для трансформаторів доцільно скласти не одну електромагнітну характеристику, а дві.
За основу будемо приймати трансформатор з концентричними обмотками.
p 1 |
|
p Wp Lp0i0 L pqiq |
(1) |
q 1
8
Рівняння (1) - зовнішня електромагнітна характеристика одного контуру.
Необхідна ще одна внутрішня характеристика.
Внутрішня електромагнітна характеристика складається на підставі рівняння повного струму для магнітних ланцюгів:
Wi R |
|
Wi R 0 |
(3) |
Внутрішня характеристика трансформатора.
Параметри зовнішньої електромагнітної характеристики є повна похідна потокозчеплення по струму:
Параметри внутрішньої електромагнітної характеристики - це повна похідна вектора потоку по векторі струм
(6)
(7)
Велика увага приділяється індуктивностям або індуктивним опорам:
X 0 p або X pq - цим визначенням ми й присвятимо більше половини
курсу
§ 5. Визначення індуктивних опорів Х op
Якщо трансформатор ненасичений, то весь магнітний потік не насичує магнітну систему.
Магнітний потік буде проходити між сердечниками L - це коефіцієнт пропорційності
9
L |
|
Wp2 |
|
R |
|
|
l |
||
|
|
|
|
|
|
||||
0 p |
|
Rp |
, |
p |
|
0 S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 - магнітна проникність середовища |
|||||||||
l |
h |
, K p |
- |
коефіцієнт Роговського (цей коефіцієнт ураховує |
|||||
|
|||||||||
|
K p |
|
|
|
|
|
|
||
подовження силової лінії за рахунок поворотів).
S |
|
(Dp2 dc2 ) |
X |
0 p - цим опором часто зневажають. |
|
4 |
|
, |
|
§ 6. Визначення взаємоіндуктивності або взаємоіндуктивних опорів між контурами
Цей параметр є одним з основних для трансформатора (він визначає й втрати, і напругу К.З. (реактивна складова) і т.д.).
Існують як практичні так і розрахункові методи визначення цього параметра.
РОЗРАХУНКОВІ МЕТОДИ
1.Метод розрахунку потокозчеплень.
2.Метод розрахунку еквівалентних площ.
3.Метод розрахунку з використанням енергії магнітного
поля.
4.Метод Роговського.
5.Метод середньогеометричних відстаней.
§6.1 Визначення взаємоіндуктивного опору між двома обмотками (або контурами) рівної висоти та з рівномірним розподілом
ампер-витків по висоті
Індуктивністю (власною індуктивністю) елемента електричного кола зветься відношення потокозчеплення, обумовленого його струмом, до цього
струму: L |
|
i . |
Величина й конфігурація полів розсіювання визначає індуктивні опори обмоток трансформатора, додаткові втрати в них, а також додаткові втрати в металевих елементах конструкції трансформатора.
10