Тема 1.2. Кінематика коливального руху.

Коливаннями називаються рухи або процеси, які періодично повторюються через проміжок часу.

Вільні(власні) коливання здійснюються за рахунок першопочаткової повідомленої енергії при подальшій відсутності зовнішніх дій на коливальну систему.

Гармонійні коливання – коливання, при яких величина, що коливається, змінюється згідно із законом sin або cos.

S = A cos (ω₀t + φ)

A – амплітуда коливань – max значення величини, що коливається;

ω₀ – кругова (циклічна) частота;

φ – початкова фаза коливань у момент часу t = 0;

(ω₀t + φ) – фаза коливань.

Період коливань – це час, через який повторюються певні стани системи

T =

Частота коливань – число повних коливань, що здійснюються за одиницю часу.

𝛎 = [ν] = [Гц]

- диференціальне рівняння гармонійних коливань;

його рішення- s = A cos (ω₀t + φ).

Графічно гармонійні коливання ізображаються методом векторних діаграм: гармонійне колібаня можна представити проекцією на деяку довільно вибрану вісь вектора аплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом , рівним початковій фазі, що обертається з кутовою швидкістюдовкола цієї крапки.

Малюнок 8.

-

кінетична енергія – матеріальної крапки, що здійснює прямолінійні гармонійні коливання.

П=-

потенційна енергія – матеріальної крапки, що здійснює гармонійні коливання під дейсвієм пружної сили.

ε = T + П = -повна енергія.

Гармонійним осцилятором називається система, що здійснює коливання, що описуються рівнянням.

+S=0

1. Пружинний маятник – це груз масою m, підвішений на абсолютно пружній пружині і здійснюючий гармонійні коливання під дією пружної сили F = - rx.

mx = - 𝑘x ω₀ = T = 2π П =

x +

2. Фізичний маятник – це тверде тіло, що здійснює під дією сили тяжіння вагання довкола нерухомої горизонтальної осі підвісу, що не проходить через центр мас тіла.

+=0

=L=-пріведена довжина

𝐓=

Точка підвісу О і центр гойдань О’володіють властивістю взаємозамінюваності: якщо осі підвісу перенести в центр гойдань, то т.О колишньої осі підвісу стане новим центром гойдань і період коливань фізичного маятника не зміниться.

Математичний маятник - це ідеалізована система ,яка складається з матеріальної точки масою m, підвішеною на нерозтяжній невагомій нитці, і що коливається під дією сили тяжіння.

_𝓘=𝐦 - математичного маятника

T = 2π

Математичний маятник – це частий випадок фізичного маятника, коли вся його маса зосереджена в одній крапці – центрі мас.

Складання гармонійних коливань одного напряму і однакової частоти.

Метод векторних діаграм

=cos(t +)= constт.к.

= cos(t +)𝘅=

=

Биттям називаються періодичні зміни амплітуди коливання, що виникають при складанні двох гармонійних коливань з близькими частотами.

Будь-які складні періодичні коливання S = f(t) можна уявити собі у вигляді суперпозиції гармонійних коливань, що одночасно здійснюються, з різними амплітудами, початковими фазами, а також частотами, кратними циклічній частоті :

𝐒==cos- розкладання Фур'є.

Члени ряду Фур'є, що визначають гармонійні коливання з частотами , називаються першою ( основною ), другою, і так далі гармоніками складного переодічеського вагання.

Складання взаємне перпендикулярних коливань

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, що складаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого колібання досить складна. Замкнуті траєкторії, що прокреслюються крапкою, яка здійснює одночасно два взаємно перпендикулярних коливання, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, що складаються. Відношення частот коливань, що складаються, дорівнює відношенню числа пересічень фігур Ліссажу з прямими, паралельними осями

координат.

Коливальний контур – це коло, що складається з ввімкнених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором R.

𝓺+- рівняння руху

𝓺=

- амплітуда коливань заряду конденсатора з власною частотою контура

𝐓=2-ф-ла Томсона

а)

W=

W=𝑘

б)

W =L

W=

B)

W=

W=𝑘

г)

W =L

W=

Затухаючими називаються колібання із-за втрат енергії з часом зменшується.

- діф. рівняння вільних затухаючих коливань

- коефіцієнт загасання

Для малих загасань

S = Ae – δt (ωt + φ) A- амплітуда затухаючих коливань.

Часом релаксації називається проміжок часу, в перебігу якого амплітуда затухаючих коливань зменшується в е разів.

Умовно період можна рахувати як проміжок часу між двома подальшими максимумами (або мінімумами) величини, що коливається.

𝐓= - логарифмічний декремент загасання

= - логарифмічний декремент загасання

де Nе – число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в е разів.

Доброжность.

Автоколивання – незгасаючі коливання, підтримувані в диссипативній системі за рахунок постійного зовнішнього джерела енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою. Автоколивальна система сама управляє зовнішніми діями, забезпечуючи узгодженість вступу енергії певними порціями в потрібний момент часу ( у такт з її коливаннями ).

Вимушеними називаються коливання, що виникають під дією зовнішнього чинника, що періодично змінюється.

- рівняння вимушених коливань.

-для механічних коливань.

x₀ = Um - x₀ = Um - для електромагнітних коливань.

ω_рез. – резонансная частота, при которой амлитуда смещения колеблющейся величины достигает max.

Резонансом називається явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що вимушує, до резонансної частоти. При δ² « ω₀² значенні ω_рез. практично збігається з ω₀.

Із зменшенням δ зростає ω_рез. ,_{а max соответсвующей кривої лежить вище іправіше.}При δ = 0 ω_рез. = ω_0.

При нікчемно малому загасанні резонансна амплітуда коливань значно зростає. Існує інший вигляд дії ззовні, за допомогою якого можна розгойдати систему. Цей вигляд дії полягає в досконалому в такт з коливаннями періодичній зміні якого або параметра системи. Це явище називається параметричним резонансом. Наприклад: якщо періодично вимірювати довжину маятника е, збільшуючи її в мить, коли маятник знаходиться в крайніх положеннях, і зменшуючи, в мить, коли маятник знаходиться в середньому положенні, то маятник сильно розгойдається. Збільшення енергії маятника при цьому відбувається за рахунок роботи, яку здійснює сила, що діє на нитку.Сила натягнення нитки ≠const:вона менше в крайніх положеннях, коли ν=0, і більше в середньому положенні, коли швидкість маятника максимальна. Тому (-) робота зовнішньої сили при подовженні маятника виявляється менше по величині, чим (+) робота, що здійснюється при укороченні маятника. У результаті робота зовнішньої сили за період виявляється більше нуля.