Устойчивость линеаризованных систем

Устойчивость CАУ включает в себя требованиезатухания всех переходных процессов во времени. Системы с расходящимися процессами были бы неработоспособными.

Все реальные системы в технике и в природе, как правило, являются в большей или меньшей степени нелинейными. Однако многие системы можно считать близкими к линейным и с необходимой для практики точностью проектировать как линейные.

Рассмотрим сначала идеально линейную систему.

,

где g(t) – задающее воздействие.

Решение для регулируемой величины имеет вид:

.

Первая часть решения х_соб(t)  представляет переходной процесс в замкнутой системе управления.

,

где _i – корни характеристического уравнения D()=0, все различные, а постоянные С_i определяются по начальным условиям, после добавления частного решения .

Устойчивостью линейной системы – это свойство затухания переходного процесса с течением времени, или следующее свойство собственного (свободного) движения системы х_соб(t)  0 при t  

Корни характеристического уравнения могут быть вещественные, комплексные, мнимые.

1. Вещественные корни.

Если ₁= –а₁, тогда приt  получится затухающий процесс (a).

Если ₂= +а₂, тогда приt  получится расходящийся процесс (б).

a) б)

2) Комплексные корни (они попарно сопряжены).

Если _1, 2= –₁ j, тогда и при t   получится затухающий процесс (₁ – параметр затухания, определяет затухание огибающей) (a).

Если _1, 2= ₁ j, тогда и при t  получится расходящийся процесс (б).

1. б)

3)  Чисто мнимые корни

Если _1, 2= j, тогда и получим незатухающие колебания с постоянной амплитудой.

Для затухания переходных процессов необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения  _i = (i, 1, 2, …, n)  обладали отрицательными вещественными частями.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень _i = 0 или хотя бы одна пара чисто мнимых корней _i, i+1 =  j, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то система находится на границе устойчивости.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то система будет неустойчивой.

Это следует из того, что нулевой корень можно рассматривать как границу между отрицательным и положительным, а чисто мнимый корень – как границу между комплексными корнями с отрицательной и положительной вещественными частями.

Теорема: Для того чтобы линейная система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексного переменного .

Мнимая ось  плоскости корней служит границей устойчивости.

Можно выделить два типа границ устойчивости линейной системы,:

1)  апериодическая, характеризуется нулевым корнем ₁ = 0;

2)  колебательная, характеризуется парой чисто мнимых корней ₁₂ =  j; при этом имеем решение х_соб(t) =Asin(t+), где A и  определяются начальными условиями, а значение мнимой части корня  равно частоте незатухающих колебаний системы на границе устойчивости.