5 Середні величини
Статистичні середні завжди виражають якісні властивості суспільних явищ і процесів.
Середня арифметична проста:
,
де
— сума значень варіантів;
—кількість
значень.
Середня арифметична зважена:
,
де
— частота варіанти.
Середня геометрична:
,
Середня квадратична:
,
Середня кубічна:
,
Формула середньої гармонійної простої має такий вигляд:
,
де
— сума зворотних значень варіантів;
—число
варіантів.
Цю формулу використовують у тому разі, коли обсяг явищ, тобто добутки, за кожною ознакою рівні. Якщо ці добутки за кожною ознакою нерівні, використовують середню гармонійну зважену:
,
де
— добуток варіанта
на частоту
,
звідки
;
—обернені
значення варіантів.
Середню
гармонійну використовують тоді, коли
вагою слугують одиниці сукупності
(носії ознаки), а добуток цих одиниць на
значення ознаки,
.
З цього правила випливає: середня гармонійна в статистиці — це перетворена середня арифметична, яку застосовують у разі, коли чисельність сукупності невідома, а варіанти зважуються обсягом ознаки.
Мода і медіана
Мода
(
)
— це величина, яка найчастіше трапляється
в даній сукупності. У варіаційному ряді
це — варіант, що має найбільшу частоту.
Медіаною
(
)
в статистиці називають варіант, що є
серединою і впорядкованого варіаційного
ряду, тобто ділить його на дві рівні
частини: одна частина має значення
варіаційної ознаки менше, ніж середня,
а друга — більше. Медіана вказує на
значення варіаційної ознаки, якого
досягла половина одиниць сукупності.
В інтервальному варіаційному ряді для приблизного визначення моди і медіани в межах певного інтервалу застосовують спеціальні розрахунки та відповідні формули.
Для знаходження модальної величини Мо ознаки, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:
,
де
—нижня межа модального інтервалу;
—модальний
інтервал;
—частота
модального інтервалу;
—частота
інтервалу, що передує модальному;
—частота
наступного за модальним інтервалу.
Для обчислення медіани спочатку в інтервальному ряді розподілу визначають медіанний інтервал. Вія відповідатиме такому, кумулятивна частота якого дорівнює чи перевищує половину суми частот. Кумулятивні частоти дістають поступовим підсумовуванням частот, розпочинаючи з інтервалу з найменшим значенням ознаки. Знайдено медіану в інтервальному варіаційному ряді:
де
—нижня межа медіанного інтервалу;
—медіанний
інтервал;
—частоти
ряду;
—сума
нагромаджених (кумулятивних) частот до
медіанного інтервалу;
—частота
медіанного інтервалу.
Медіана
є серединним значенням — і це полегшує
її розуміння. Порівняно з модою вона
виразніша. Завдяки тому, що сума абсолютних
відхилень рівнів ряду від медіани є
величина найменша
,
цю властивість широко використовують
у маркетинговій діяльності.
Задача 5.1
Визначити середню моду і медіану на основі наведених нижче даних про розділ працівників за їх денним виробітком. построїти графічно кумуляту, гістограму і полігон.
|
Група робітників, за денним виробітком, шт. |
до 60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
|
Чисельність, чол. |
40 |
10 |
70 |
50 |
15 |
Задача 5.2
Визначити середню кількість слів у зареєстрованих за добу телеграмах, використовуючи такі дані:
|
Кількість слів |
до 4 |
4-8 |
8-12 |
12-16 |
16-20 |
20 і більше |
|
Разом число телеграм |
55 |
92 |
148 |
104 |
67 |
34 |
Задача 5.3
Використовуючи дані таблиці, визначити середню кількість робітників на одне підприємство. Визначити середній обсяг виробництва в розрахунку на одне підприємство і одного робітника по кожній з груп і в цілому. Розрахувати моду та медіану та побудувати графіки.
|
Групи підприємства за кількістю робітників, чол. |
Кількість підприємств |
Обсяг виробництва, тис. грн. |
|
до 50 |
22 |
600 |
|
50-100 |
40 |
680 |
|
100-150 |
19 |
1000 |
|
150-200 |
3 |
300 |
|
200 і більше |
2 |
620 |
|
Разом |
|
|
Задача 5.4
Визначити середню моду і медіану на основі наведених нижче даних про розділ працівників за їх денним виробітком. Побудувати графічно кумуляту, гістограму і полігон.
|
Група робітників, за денним виробітком, шт. |
до 60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
|
Чисельність, чол. |
40 |
120 |
100 |
50 |
15 |
Задача 5.5
Знайти середній стаж роботи, якщо робітники одного цеху розподіляються по стажу роботи в цьому цеху:
|
Стаж роботи |
1 |
2 |
4 |
5 |
8 |
10 |
15 |
|
Кількість робітників |
2 |
5 |
3 |
10 |
15 |
20 |
10 |
Задача 5.6
Маємо наступні дані про розподіл робітників підприємства за розміром місячної заробітної плати: Визначити середню моду і медіану на основі наведених нижче даних про розділ працівників за їх денним виробітком. Побудувати графічно кумуляту, гістограму і полігон.
|
Місячна заробітна плата |
1000-1200 |
1200-1400 |
1400-1600 |
1600-1800 |
1800-2000 |
2000-2200 |
2200-2400 |
|
Питома вага робітників |
5 |
8 |
25 |
30 |
15 |
12 |
5 |
Задача 5.7
З метою вивчення витрат часу на виготовлення однієї деталі робітниками заводу 10%-на випадкова безповоротна вибірка, в результаті якої отримано наступний розподіл деталей за витратами часу:
|
Витрати часу на одну деталь, хв. |
Кількість деталей, шт. |
|
До 20 |
5 |
|
20-22 |
20 |
|
22-24 |
50 |
|
24-26 |
15 |
|
26 і більше |
10 |
|
Разом |
100 |
На основі цих даних обчисліть середні витрати часу на виготовлення однієї деталі. Визначити середню моду і медіану на основі наведених нижче даних про розділ працівників за їх денним виробітком. Побудувати графічно кумуляту, гістограму і полігон.
Задача 5.8
Є такі дані по двох групах заводів промислового об’єднання:
|
Перша група |
Друга група | ||||
|
номер за-воду |
фактичний випуск продукції, млн. грн. |
виконання плану випуску продукції, % |
номер за- воду |
фактичний випуск продукції, млн. грн. |
виконання плану випуску продукції, % |
|
1 |
123 |
101 |
4 |
120 |
97 |
|
2 |
221 |
105 |
3 |
222 |
110 |
Обчисліть середній відсоток виконання плану продукції:
першої групи заводів;
другої групи заводів.
Задача 5.9
Знайти середній рівень виробітку по підприємству, якщо розподіл робітників підприємства за групами залежно від рівня продуктивності праці наведено в таблиці: Визначити середню моду і медіану на основі наведених нижче даних про розділ працівників за їх денним виробітком. Побудувати графічно кумуляту, гістограму і полігон.
|
Середній виробіток товарної продукції на одного робітника, грн. |
Кількість робітників, чол. |
|
800…1000 |
20 |
|
1000…1200 |
80 |
|
1200…1400 |
160 |
|
1400…1600 |
90 |
|
1600…1800 |
40 |
|
1800…2000 |
10 |
|
|
400 |
Задача 5.10
Методом механічного відбору в туристичних агентствах регіону було проведено 20% вибіркове обстеження щодо кількості середньомісячної реалізації туристичних путівок. Отримали наступний ряд розподілу (табл. 5.1).
Таблиця 5.1 – Дані про кількість середньомісячну реалізацію туристичних путівок
|
Кількість путівок які реалізовані щомісяця, шт. |
Кількість туристичних агентств, од. |
|
До 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50 і більше |
6 31 38 15 7 3 |
|
Разом |
100 |
Визначити: середньомісячну реалізацію путівок, моду, медіану, показники варіації. Зробити висновки.
Задача 5.11
Проведено вибірково обстеження (5%-не) сімей за сукупним доходом на 1 члена сім’ї і одержані дані (табл. 5.2).
Таблиця 5.2 – Дані про сукупний дохід сімей
|
Групи сімей за сукупним доходом на 1 члена сім’ї, грн. |
Кількість сімей |
|
До 40,0 40,0-60,0 60,0-80,0 80,0-100,0 100,0-120,0 120,0-140,0 140,0 і більше |
12 10 19 42 12 3 2 |
|
Разом |
100 |
Визначити: середню суму сукупного доходу на 1 члена сім’ї, моду, медіану, показники варіації. Поясніть зміст одержаних характеристик.
Задача 5.12
В місті проживає 250 тис. сімей. Для визначення середньої кількості дітей у сім’ї було проведено 2% випадкову безповторну вибірку (табл. 5.3).
За результатами обстеження, кількість дітей у сім’ї становила.
Таблиця 5.3 – Дані про випадкову безповторну вибірку
|
Кількість дітей |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Кількість сімей |
1000 |
2000 |
1200 |
400 |
200 |
200 |
Визначити: середню кількість дітей у сім’ях, моду, медіану, показники варіації. Поясніть зміст кожної із одержаних статистичних характеристик. Зробити висновки.
Задача 5.13
За даними власне випадкової без повторної вибірки побудовано такий ряд розподілу емітованих облігацій за терміном їх обертання (табл. 5.4).
Таблиця 5.4 – Дані про кількість та термін обертання облігацій
|
Термін обертання облігацій, міс. |
Кількість емітованих облігацій, тис. шт. |
|
До 2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 |
20 65 170 100 30 15 |
|
Разом |
400 |
Визначити: середню тривалість обертання облігацій, їх моду, медіану та показники варіації. Поясніть зміст кожної із одержаних характеристик.
Задача 5.14
За даними 20% механічного вибіркового спостереження, найбільші комерційні банки України за розміром статутного капіталу (станом на 01.01.2002р.) розподілилися в табл. 5.5.
Таблиця 5.5 – Дані про вибіркове спостереження
-
Статутний капітал, млн. умов. од.
Кількість банків
До 2,0
2,0-4,0
4,0-6,0
6,0-8,0
8,0-10,0
10,0 і більше
13
15
19
35
11
7
Використовуючи дані табл.5.5, визначити: середній розмір статутного капіталу, моду, медіану, абсолютні та відносні показники варіації. Зробити висновки.
Задача 5.15
У порядку 20% механічної вибірки одержані дані про розподіл обсягів кредитів по відсоткових ставках (2002 р.) (табл. 5.6).
Таблиця 5.6 – Дані про механічну вибірку
-
Відсоткова ставка, %
Обсяг кредитів, млн. грн.
<3
3-6
6-9
9-12
12-15
>15
60
82
153
175
162
93
Всього:
725
Використовуючи дані табл. 5.6, визначити: середній розмір відсоткової ставки, моду, медіану, показники варіації. Поясніть зміст кожної із одержаних статистичних характеристик.