Короткі теоретичні відомості

Систему ортонормальних функцій Хаара можна використовувати в якості базисної при розвиненні у ряд Фур’є - Хаара, що рівномірно збігається неперервної на відрізку [0, 1], будь – якої функції

з коефіцієнтами

При використанні функцій Хаара в якості базисних для апроксимації сигналів на відрізкубагаточленами Фур’є безрозмірний аргумент функції Хаара необхідно замінити на, де коефіцієнтзавдає необхідний масштаб часу функцій і має розмірність часу у мінус першому ступені.

В означенні функцій Хаара використовується поняття двоїчних відрізків. Відрізки, які можна отримати розподілом відрізку [0, 1] на рівних частин, називаються двоїчними. Ці відрізки вважають замкненими зліва і відкритими праворуч, якщо їх правий кінець не дорівнює одиниці. Якщо правий кінець відрізка дорівнює одиниці, то відріізок вважають замкненим і зліва, і справа. Такам чином, двоїчні відрізки –[0,1], [0,1/2[, [1/2,1], [0,1/4[, [1/4,1/2[, [1/2,3/4[, [3/4,1], [0,1/8[ . Відрізки [1/4, ¾[, або [5/8, 7/8[ не є двоїчними.

Для двоїчних відрізків введемо наступні позначення:

де j міняється від 1 до 2^m-1 , а m=1,2,... (коли j=2^m-1 треба вважати l_mj замкненим також і праворуч)

Для кожного m виконується умова l_m1+l_m2+l_m3+...+l_m2^m-1=[0,1[.

Разом із подвійною нумерацією використовують просту нумерацію, вважаючи l_mj=l_n , де n=2^m-1+j . Насправді, при такій нумерації т=2,3,... (відрізок з n=1 відсутній). Ліву і праву половину l_mj домовимось позначати l_mj^- і l_mj⁺, так що

.

Систему функцій Хаара зручно будувати групами: група номерm містить 2^m-1 функцій ,j=1,2,...2^m-1, m=1,2,3..., причому перша функція залишається поза групами.

Означення функцій Хаара

На рис.1.1 зображені перші вісім функцій цієї системи.

Особливість функцій Хаара – порівняна простота їх отримання (генерування у електронних пристроях). Базисну систему функцій Хаара доцільно використовувати для аналізу та синтезу імпульсних сигналів кінцевої тривалості.

Рис.1.1

Опис лабораторної установки

Лабораторний синтезатор сигналів по Хаару виконаний по функціональній схемї , що зображена на рис.1.2. У змінному блоці лабораторної установки «Синтез сигналів по Хаару» містяться генератори перших восьми функційй Хаара ,, ...,, потенціометри для встановлювання коефіцієнтів розвинення,, ...,, тумблери включення і відключення кожної з функцій Хаара, що генеруються, суматор та схема, що виробляє імпульс синхронізації.

Рис.1.2

Розміщення потенціометрів встановлювання коефіцієнтів розвинення і тумблерів вмикання функцій Хаара на передній панелі змінного пристрою показане на рис. 1.3.

Рис.1.3

Синтезований сигнал подається на гнізда Г₃ і Г₄. На гніздо Г₅ подається імпульсний сигнал для зовнішньої синхронізації осцилографа.

Розрахункове завдання

Розрахувати в середовищі MathCAD значення перших восьми коефіцієнтів розвинення в ряд Фур’є – Хаара наступних сигналів:

1. 

при а) ; б); в); г).

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Зобразити сигнали 1-6, що синтезуються. Розрахувати відносну середньоквадратичну похибку апроксимації всіх сигналів, що розглядаються, вісьмома ортогональними складовими.

Змоделювати в середовищі Electronics Work Bench синтезатор і аналізатор сигналів по Хаару i порівняти результати аналізу і синтезу сигналів по Хаару з розрахунками в середовищі MathCAD.

Лабораторне завдання

1. Розглянути і замалювати осцилограми функцій Хаара

, , ...,.

1. Зібрати схему досліджень. Підключити вхід підсилювача вертикального відхилення осцилографа до гнізда Г₃ (або Г₄). Для зовнішньої синхронізації осцилографа використовувати імпульси, що знімаються з гнізда Г₅. Увімкнути установку і осцилограф у мережу живлення.

2. Встановити зручний часовий масштаб. Увімкнути функцію Хаара . Засинхронізувати зображення на екрані осцилографа. Встановити масштаб горизонтальної розгортки таким, щоб осцилограма займала увесь екран. Масштаб в процесі роботи не змінювати.

1. Синтезувати сигнали, що перелічені у розрахунковому завданні. Замалювати осцилограми, що характеризують формування кожного із сигналів при вмиканні однієї, двох, трьох і т. д. функцій Хаара.

   1. По черзі вмикаючи відповідні функції Хаара і спостерігаючи їх на екрані осцилографа, встановити потенціометрами розраховані значення коефіцієнтів розвинення.

   2. Підібрати необхідне підсилення Y-каналу осцилографа. Увімкнути всі функції Хаара і відрегулювати підсилення Y – каналу так, щоб осцилограма сигналу, що синтезується, не виходила за границі робочої області екрану осцилографа. Замалювати осцилограми, що відповідають різній кількості функцій, що беруть участь у формуванні сигналу.

Вимоги до звіту

Звіт повинен містити в собі:

1. функціональну схему генератора сигналів по Хаару;

2. розрахунки коефіцієнтів розвинення всіх сигналів, що синтезуються, в середовищі MathCAD;

3. розрахунки похибок апроксимації;

4. осцилограми всіх сигналів;

5. результати моделювання синтезу і аналізу сигналів по Хаару в середовищі Electronics Work Bench.

Контрольні запитання

1. Дайте означення функцій Хаара.

2. Покажіть, що функції Хаара утворюють повну ортонормальну систему функцій.

3. Відобразіть функцію Хаара для. До якої групи вона належить?

4. Зі скількох функцій складається група ?

5. Яка функція Хаара визначена на відрізку[7/8, 1]?

6. Чи є відрізки [12/16, 15/16[, [13/32, 15/32[, [8/64, 9/64[ двоїчними?

7. Знайдіть потужність та енергію функції Хаара .

8. Розрахуйте коефіцієнти ірозвинення у ряд Фур’є –Хаара сигнала .

9. Розрахуйте значення перших чотирьох коефіцієнтів розвинення у ряд Фур’є – Хаара сигнала .

10. Як зміниться осцилограма сигнала, що його синтезують, якщо вимкнути ?

11. Як зміниться осцилограма сигналу, що його синтезують, , якщо вимкнути?

12. Наведіть приклади інших ортогональних функцій із систем “прямокутних” базисних функцій.

2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2. АНАЛІЗ І СИНТЕЗ СИГНАЛІВ ПО ФУР’Є

Ціль роботи - вивчення спектрального складу періодичної послідовності імпульсів прямокутної форми при різних частотах слідування та тривалостях імпульсів, а також схеми і принципів функціонування аналізатора і синтезатора сигналів по Фур’є.