2.9 Резюме до повної системи рівнянь Максвела

Рівняння Максвела описують властивості ЕМП. На підставі цих рівнянь можна зробити такі висновки:

1. Електричні і магнітні поля тісно зв’язані між собою. Будь-яка зміна одного з них викликає зміну іншого. Незалежне існування іможливе лише в статичному випадку.

2. Джерелами ЕМП являються заряди і струми. Магнітне поле завжди вихрове, електричне може бути потенційними і вихровим. Чисто потенційними електричне поле може бути тільки в статичному випадку.

3. Силові лінії електричного поля можуть мати стоки і витоки. Силові лінії магнітного поля завжди неперервні.

4. З першого рівняння Максвела слідує, що лінії магнітного поля охоплюють лінії повного струму, утворюючи з ним правогвинтову систему (рис. 2.7).

5. З другого рівняння Максвела слідує, що лінії вихрового електричного поля охоплюють лінії магнітного поля, утворюючи з ним лівогвинтову систему (рис. 2.8).

6. Рівняння Максвела в диференційній формі – це лінійні диференційні рівняння. Вони справедливі в будь-якій точці простору, в околі яких фізичні властивості середовища неперервні. Це забезпечує скінченність просторових похідних, які входять в рівняння.

7. Інтегральні рівняння справедливі навіть в тому випадку, якщо поверхні і контури, що в них входять, перетинають границі, де фізичні властивості середовища змінюються.

2.10 Рівняння Максвела і сторонні струми

При розгляді системи рівнянь Максвела в диференційній формі разом з матеріальними рівняннями, під вектором мали на увазі густину струму провідності, який виникає в провідному середовищі під дією електричного поля. Цей вектор задовольняє диференційному закону Ома:.

Крім цього струму в області простору, що вивчається, можуть існувати струми, які розглядаються як першопричина виникнення електричного поля і вважаються заданими. Ці струми прийнято називати сторонніми.

Особливо важливу роль відіграють сторонні струми при вивченні випромінювання ЕМХ різноманітними антенами.

Для врахування сторонніх струмів необхідно перше рівняння Максвела представити у вигляді

, (2.42)

де – густина сторонніх струмів в точці простору, що розглядається.

При розгляді багатьох питань, замість сторонніх струмів, задаються сторонньою напруженістю електричного поля . Підрозуміють напруженість електричного поля, яка створюється зарядами і струмами, розташованими за межами області, яка розглядається.

Введення іспрощує задачу, яка розв’язується. Фактично воно виключає детальний аналіз процесів, які проходять в якій-небудь частині простору. Аналогічно до сторонніх струмів вводиться поняття сторонніх зарядів. Тоді третє рівняння Максвела записується у вигляді

, (2.43)

де – об’ємна густина сторонніх зарядів.

У випадку змінних процесів, сторонні струми і заряди пов’язані рівнянням неперервності

. (2.44)

2.11 Гармонічні коливання і комплексні амплітуди

Всі реальні електромагнітні процеси можна представити або у вигляді суми дискретних гармонічних коливань, або у вигляді неперервного спектра гармонічних коливань. Такі представлення мають великий практичний і теоретичний інтерес і поля називають монохроматичними (однокольоровими). Назву запозичено з оптики: кожному кольору відповідає коливання певної частоти.

Аналіз гармонічних коливань значно спрощується при використані методу комплексних амплітуд, суть якого полягає в наступному: замість будь-якої скалярної функції , яка змінюється по закону

, (2.45)

де – амплітуда,

– початкова фаза коливань,

– циклічна частота гармонічного коливання, вводиться в розгляд комплексна функція:

. (2.46)

Величину називають комплексною амплітудою функції.

Для переходу від комплексної функції до початковоїтреба взяти відреальну частину

. (2.47)

Аналогічно, замість вектора

(2.48)

можна ввести до розгляду комплексний вектор

. (2.49)

Вираз (2.49) можна переписати у вигляді

, (2.50)

де

(2.51)

– комплексна амплітуда вектора .

Для переходу до початкового вектора необхідно взяти реальну частину від

. (2.52)

Якщо функції ізадовольняють лінійним диференційним рівнянням, то їм також задовольняють відповідні комплексні функціїі.

Визначення комплексних функцій простіше визначення початкових. Це пояснюється тим, що диференціювання комплексної функції за часом рівносильне множенню на , а інтегрування по часі – діленню на.

Запишемо співвідношення, яке витікає з формули Ейлера

. (2.53)