2.3 Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)

Друге рівняння є узагальненням закону індукції Фарадея: якщо замкнений контур пронизується змінним струмом, то в контурі виникає ЕРС, яка дорівнює швидкості зміни магнітного потоку (рис. 2.3):

. (2.15)

Знак “мінус” в правій частині (2.15) означає, що ЕРС нібито прагне перешкодити зміні потоку , який пронизує цей контур. Це положення відоме як“правило Лоренца”. Це рівняння справедливо тільки для провідного контуру. Максвел припустив, що це рівняння справедливе також і в тому випадку, якщо середовище не має провідність. Відомо, що будь-яка ЕРС, яка наводиться на контур і, дорівнює циркуляції вектора по цьому контуру:

. (2.16)

Магнітний струм зв’язаний з векторомспіввідношенням

, (2.17)

де – довільна поверхня, яка опирається на контур;

,– орт нормалі до поверхні, який утворює правогвинтову систему з обходом контуру (2.13).

Підставляючи формули (2.17) і (2.16) в (2.15), отримуємо

. (2.18)

Це співвідношення (2.18) придатне для контуру скінчених розмірів і називається другим рівнянням Максвела в інтегральній формі.

Диференційна форма. Якщо вважати, що контур нерухомий і не змінюється з часом, тоді можливо похідну по часі внести під знак інтеграла (2.18)

. (2.19)

Застосовуючи теорему Стокса

,

можна переписати (2.19) у вигляді

. (2.20)

Через те, що – довільна поверхня, то (2.20) виконується у випадку, якщо

. (2.21)

Співвідношення (2.21) – це диференційна форма другого рівняння Максвела.

В прямокутній системі координат отримуємо три скалярних рівняння:

. (2.22)

З (2.21) слідує, що ротор напруженості електричного поля в будь-який його точці дорівнює по величині і протилежний за знаком швидкості зміни індукціїв цій точці.

2.4 Третє рівняння Максвела (узагальнена теорема Гауса)

Закон Гауса встановлює зв’язок між векторним полем і величиною заряду, який його породжує. Розглянемо деякий об’єм, обмежений замкненою поверхнею(рис. 2.4, а). В середині об’єму знаходиться електричний заряд. Математично теорема Гауса формулюється

. (2.23)

Потік вектора через поверхнючисельно дорівнює заряду поділеному на. Якщо заряд розподілений неперервно, товизначається як

, (2.24)

де – об’ємна густина заряду.

Підставив (2.24) в (2.23) маємо

, (2.25)

Вираз (2.25) можна записати в іншому виді, якщо використати матеріальне рівняння :

. (2.26)

Рівняння (2.26) – це третє рівняння Максвела в інтегральній формі.

Диференційна форма. Використовуючи результат теореми Остроградського-Гауса

, (2.27)

отримаємо

. (2.28)

Ця рівність виконується при будь-якому об’ємі, а це можливе тільки в тому випадку, якщо

. (2.29)

Співвідношення (2.29) – це третє рівняння Максвела в інтегральній формі.

З (2.29) слідує, що дивергенція вектора відміна від нуля тільки в тих точках простору, де є вільні заряди. В цих точках лінії векторамають початок (витік) (рис. 2.4, б) і кінець (стік) (рис. 2.4, в). Лінії векторапочинаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Такі поля називаютьсяпотенційними.

В прямокутній системі координат рівняння (2.29) записується у вигляді

. (2.30)