4.7 Лема Лоренця

Якщо в лінійному ізотропному середовищі система сторонніх джерел з густиною струмів створює електромагнітне поле, а друга система з густиною струмівстворює поле, то зв’язок між ними встановлює лема Лоренця. Вона дозволяє також розв’язувати задачі про збудження поля струмами складної конфігурації за заданими полями елементарного джерела.

Запишемо рівняння Максвела для двох вказаних полів, джерела яких в загальному випадку не співпадають в просторі:

Помножимо скалярно записані рівняння згідно схемі, об’єднуючи їх попарно, віднімемо відповідні частині отриманих рівнянь. Отримаємо

. (4.67)

До лівих частин (4.67) застосуємо відому векторну тотожність, таким чином отримаємо

Для ізотропних середовищ немає різниці між і,і. Тоді віднявши почленно, отримаємо:

. (4.68)

Вираз (4.68) – це диференціальна форма леми Лоренца.

Інтегруючи (4.68) по довільному об’єму і застосовуючи формулу Остроградського-Гауса, отримаємо інтегральну форму леми Лоренца:

. (4.69)

Це співвідношення дозволяє знаходити поле, яке створюється струмом з густиною , якщо відоме поле, яке збуджується струмом з густиною.

Векторні добутки ,в лівій частині (4.61) можна розглядати як взаємні вектори Пойнтинга двох незалежних електромагнітних процесів.

На основі леми Лоренца доводиться теорема взаємності, яка має фундаментальне значення, зокрема в теорії антен.

4.8 Теорема взаємності

Нехай джерела з густиною струмів зосередженні в об’ємі, а джерела з густиною струмів– в об’ємі. Області об’ємівіпросторово не перетинаються (рис. 4.6).

Якщо розповсюдити інтегрування в рівнянні (4.61) на весь простір, при цьому поверхня піде в нескінченність. Згідно з теоремою єдиності (п.4.5) амплітуди полівізменшуються при збільшенні відстані r від джерел швидше, ніж. Тоділіва частина рівняння (4.61) перетвориться в нуль. Оскільки вектор густини сторонніх струмівне дорівнює нулю тільки в об’ємі, ав, то (4.69) буде мати вигляд:

. (4.70)

Вираз (4.70) – це математичне формулювання теореми взаємності. Фізичний зміст цієї теореми: поміняємо місцями стороні струми і. Для цього будемо вважати, щоі.

З теореми взаємності слідує, що в цьому випадку , тобто сторонній струм з густиноюзбуджував втаке ж поле, яке він збуджує в об’ємі, якщо його помістити в об’єм. Це доведення дуже важливе в теорії антен. Якщо є дві однакові антени І і ІІ з однаковим розподілом струмів, то можна стверджувати що антена І створює у антени ІІ таке ж поле, яке антена ІІ створює в антені І.

Теорема взаємності справедлива тільки в середовищах, які мають симетричні тензори діелектричної і магнітної проникності (,). Ця умова виконується для більшості кристалічних середовищ. У випадкугіротропних середовищ (наприклад, феритів) тензор являєтьсяантисиметричним (). Тому для таких середовищ теорема взаємності несправедлива.

4.9 Переставна двоїстість рівнянь Максвела

Розглянемо систему рівнянь Максвела для гармонічних коливань:

(4.71)

з якої видно, що вектори івходять в ці рівняння однаковим чином. Тому, якщо замінити

на , ана,на, ана,

то перше рівняння перейде в друге, а друге в перше, а в цілому система залишається такою ж. Звідси можна зробити важливе доведення. Нехай є дві електродинамічні задачі, які сформульовані таким чином, що всі умови для вектора для однієї задачі при вказаних замінах переходять в умови для векторадругої задачі, а геометрична конфігурація і граничні умови в обох задачах однакові.

При цьому, якщо одна задача розв’язана, розв’язок другої задачі можна отримати безпосередньо з розв’язку першої простою заміною всіх електричних величин на магнітні і, навпаки.

Ця властивість називається переставна двоїстість рівнянь Максвела і широко використовується при розв’язку різних задач.